Chương 4: BẤT ĐẲNG THỨC, BẤT PHƯƠNG TRÌNH

A Lan

Cho a,b,c là các số thực dương thỏa mãn a+b+c=3. Tìm GTLN : \(P=a^3+b^3+c^3-\frac{3}{a}-\frac{3}{b}-\frac{3}{c}\)

Nguyễn Quang Định
10 tháng 10 2019 lúc 12:03

Bình luận (0)
Nguyễn Quang Định
9 tháng 10 2019 lúc 17:55

72721694_700197777130773_6614559908572430336_n.jpg (806×608)

Bình luận (0)
Nguyễn Quang Định
10 tháng 10 2019 lúc 12:01

Ta có \(a^3+b^3-(a+b)^3/4=3/4(a-b)^2(a+b)\)
\(-\dfrac{3}{a}-\dfrac{3}{b}+\dfrac{12}{a+b}=-\dfrac{3(a-b)^2}{ab(a+b)}.\)
Lại có nếu như giả sử \(a+b\le 2\) thì
\(a+b-\dfrac{4}{ab(a+b)}= \dfrac{ab(a+b)^2-4}{ab(a+b)}\le 0.\)
Điều này dẫn đến. Nếu chúng ta giả sử \(a\le b\le c\) thì
\(P\le \dfrac{(a+b)^3}{4}+c^3-\dfrac{12}{a+b}-\dfrac{3}{c}=-\dfrac{21}{4}-\dfrac{3(c-2)^2(c^3+4c^2-6c+3)}{4(3-c)c}.\)
Lại có
\(c^3+4c^2-6c+3=c^3+1+2(2c-1)(c-1)\ge 2.\)
Điều này cho ta được \(P_{max}=-\dfrac{21}{4}\). Đẳng thức xảy ra khi hoán vị \((a,b,c)\sim\left(1/2,1/2,2\right)\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Tình Nguyễn Hữu
Xem chi tiết
Anh Đỗ Nguyễn Thu
Xem chi tiết
Trần
Xem chi tiết
Cao Thi Thuy Duong
Xem chi tiết
Đạt Trần Tiến
Xem chi tiết
lữ thị xuân nguyệt
Xem chi tiết
Ngọc Ánh
Xem chi tiết
trần trang
Xem chi tiết
Tùng Trần Sơn
Xem chi tiết