Question

Cho a,b,c là các số thực dương thay đổi .Tìm GTNN của biểu thức:

\(P=\left(\frac{a}{a+b}\right)^2+\left(\frac{b}{b+c}\right)^2+\frac{c}{4a}\)

Answer 1

\(P=\left(\frac{1}{1+\frac{b}{a}}\right)^2+\left(\frac{1}{1+\frac{c}{b}}\right)^2+\frac{1}{4}.\frac{c}{a}\)

Đặt \(\left\{{}\begin{matrix}\frac{b}{a}=x>0\\\frac{c}{b}=y>0\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow\frac{c}{a}=xy\)

\(P=\frac{1}{\left(1+x\right)^2}+\frac{1}{\left(1+y\right)^2}+\frac{xy}{4}\ge\frac{1}{1+xy}+\frac{xy}{4}\)

\(P\ge\frac{1}{1+xy}+\frac{1+xy}{4}-\frac{1}{4}\ge2\sqrt{\frac{1+xy}{4\left(1+xy\right)}}-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}\)

\(P_{min}=\frac{3}{4}\) khi \(xy=1\) hay \(a=c\)