Violympic toán 9

cho a,b,c dương thỏa mãn $\sqrt{a^2+b^2}+\sqrt{b^2+c^2}+\sqrt{c^2+a^2}=\sqrt{2011}$.

CMR: $\dfrac{a^2}{b+c}+\dfrac{b^2}{c+a}+\dfrac{c^2}{a+b}\ge\dfrac{\sqrt{2011}}{2}$

Huy Bui 14 tháng 1 lúc 11:00

$VT\ge\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2011}{2}}$

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm Giáo viên 14 tháng 1 lúc 11:07

$P\sqrt{2}\ge\dfrac{a^2}{\sqrt{b^2+c^2}}+\dfrac{b^2}{\sqrt{c^2+a^2}}+\dfrac{c^2}{\sqrt{a^2+b^2}}$

Đặt $\left(\sqrt{b^2+c^2};\sqrt{c^2+a^2};\sqrt{a^2+b^2}\right)=\left(x;y;z\right)$

$\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x+y+z=\sqrt{2011}\\a^2=\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2}\\b^2=\dfrac{z^2+x^2-y^2}{2}\\c^2=\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2}\end{matrix}\right.$

$\Rightarrow P2\sqrt{2}\ge\dfrac{y^2+z^2-x^2}{x}+\dfrac{z^2+x^2-y^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2-z^2}{z}$

$P4\sqrt{2}\ge\dfrac{\left(y+z\right)^2}{2x}+\dfrac{\left(z+x\right)^2}{2y}+\dfrac{\left(x+y\right)^2}{2z}-\left(x+y+z\right)$

$P2\sqrt{2}\ge\dfrac{4\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}-\left(x+y+z\right)=x+y+z=\sqrt{2011}$

$\Rightarrow P\ge\dfrac{\sqrt{2011}}{2\sqrt{2}}$

Đề sai

Bình luận (0)
Tan Thuy Hoang CTV 14 tháng 1 lúc 11:08

Đặt $\left(x,y,z\right)=\left(\sqrt{a^2+b^2},\sqrt{b^2+c^2},\sqrt{c^2+a^2}\right)$.

Ta có $x+y+z=\sqrt{2011}$.

BĐT cần cm trở thành:

$\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2\sqrt{2}x}+\dfrac{z^2+x^2-y^2}{2\sqrt{2}y}+\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2\sqrt{2}z}\ge\dfrac{1}{2}\sqrt{\dfrac{2011}{2}}$

$\Leftrightarrow\dfrac{y^2+z^2-x^2}{x}+\dfrac{z^2+x^2-y^2}{y}+\dfrac{x^2+y^2-z^2}{z}\ge x+y+z$

$\Leftrightarrow\left(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{y}\right)+\left(\dfrac{y^2}{x}+\dfrac{z^2}{y}+\dfrac{x^2}{z}\right)\ge2\left(x+y+z\right)$.

Theo bđt AM - GM:

$\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+\dfrac{z^2}{y}=\left(\dfrac{x^2}{y}+y\right)+\left(\dfrac{y^2}{z}+z\right)+\left(\dfrac{z^2}{x}+x\right)-x-y-z\ge2x+2y+2z-x-y-z=x+y+z$.

Tương tự, $\dfrac{y^2}{x}+\dfrac{z^2}{y}+\dfrac{x^2}{z}\ge x+y+z$.

Dễ có điều phải chứng minh.

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự