Từ giả thiết ta suy ra \(\frac{1}{1+a}=2-\frac{1}{1+b}-\frac{1}{1+c}=\frac{b}{1+b}+\frac{c}{1+c}\ge2\sqrt{\frac{b}{1+b}\cdot\frac{c}{1+c}}=\frac{2\sqrt{bc}}{\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}}.\)
Tương tự ta thiết lập được 2 bất đẳng thức nữa rồi nhân vào ta sẽ được
\(\frac{1}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\ge2^3\cdot\frac{\sqrt{bc}\cdot\sqrt{ca}\cdot\sqrt{ab}}{\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\cdot\sqrt{\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\cdot\sqrt{\left(1+c\right)\left(1+a\right)}}=\frac{8abc}{\left(1+a\right)\left(1+b\right)\left(1+c\right)}\)
Suy ra \(1\ge8abc\to abc\le\frac{1}{8}\). Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi \(a=b=c=\frac{1}{2}.\) Vậy giá trị lớn nhất của \(abc\) là bằng \(\frac{1}{8}.\)
