Question

Cho ABC cân tại A, D là trung điểm của BC. a) Chứng minh: ADB = ADC; b) Từ D vẽ DE AB tại E, DF AC tại F. Chứng minh: DEF cân; c) Gọi I là giao điểm của BF và CE. Chứng minh rằng: A, I, D thẳng hàng.

Answer 1

a: Xét ΔADB và ΔADC có

AD chung

DB=DC

AB=AC

Do đó: ΔADB=ΔADC

b: ΔADB=ΔADC

=>\(\widehat{BAD}=\widehat{CAD}\)

ΔADB=ΔADC

=>\(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}\)

mà \(\widehat{ADB}+\widehat{ADC}=180^0\)(hai góc kề bù)

nên \(\widehat{ADB}=\widehat{ADC}=\dfrac{180^0}{2}=90^0\)

=>AD\(\perp\)BC

Xét ΔAED vuông tại E và ΔAFD vuông tại F có

AD chung

\(\widehat{EAD}=\widehat{FAD}\)

Do đó: ΔAED=ΔAFD

=>DE=DF

=>ΔDEF cân tại D

c: Ta có: ΔAED=ΔAFD

=>AE=AF

Ta có: AE+EB=AB

AF+FC=AC

mà AE=AF và AB=AC

nên EB=FC

Xét ΔEBC và ΔFCB có

EB=FC

\(\widehat{EBC}=\widehat{FCB}\)

BC chung

Do đó: ΔEBC=ΔFCB

=>\(\widehat{ECB}=\widehat{FBC}\)

=>\(\widehat{IBC}=\widehat{ICB}\)

=>ΔIBC cân tại I

=>IB=IC

=>I nằm trên đường trung trực của BC(1)

Ta có: D là trung điểm của BC

AD\(\perp\)BC tại D

Do đó: AD là đường trung trực của BC(2)

Từ (1),(2) suy ra A,D,I thẳng hàng