a) Ta có BĐT:
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2+b^2-ab\right)\ge\left(a+b\right)ab\)
\(\Rightarrow a^3+b^3+abc\ge ab\left(a+b+c\right)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự cho 2 bất đẳng thức còn lại rồi cộng theo vế:
\(VT\le\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{bc\left(a+b+c\right)}+\frac{1}{ca\left(a+b+c\right)}\)
\(=\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}=VP\)
Khi \(a=b=c\)
câu 1 . Theo bđt côsi ta có \(a^3+b^3\ge ab(a+b)\)
\(\Rightarrow\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab(a+b)+abc}=\frac{1}{ab(a+b+c)}=\frac{c}{abc(a+b+c)}\)
tương tự \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc(a+b+c)}\)và\(\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{b}{abc(a+b+c)}\)
Cộng vế theo vế ta có \(\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{b^3+a^3+abc}+\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{a+b+c}{abc(a+b+c)}=\frac{1}{abc}\)
\(\RightarrowĐPCM\)
CÂU 2 ta có \(\frac{\sqrt{ab}}{c+2\sqrt{ab}}=\frac{1}{2}-\frac{c}{2c+4\sqrt{ab}}\le\frac{1}{2}-\frac{c}{2c+2a+2b}=\) THEO BĐT CÔSI \(2\sqrt{ab}\le a+b\)
Tương tự với 2 biểu thức còn lại ta có \(\frac{\sqrt{bc}}{a+2\sqrt{bc}}\le\frac{1}{2}-\frac{a}{2a+2b+2c}\)và \(\frac{\sqrt{ac}}{b+2\sqrt{ac}}\le\frac{1}{2}-\frac{b}{2b+2a+2c}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{3}{2}-\frac{a+b+c}{2a+2b+2c}=1\)\(\RightarrowĐPCM\)
