Câu hỏi của đỗ thị như ý

Question

cho a,b>0, a+b=2, chứng minh:

a2b2(a2+b)<2

thank you

Akai Haruma · Accepted Answer

Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si ngược dấu ta có:

$a^2b^2(a^2+b^2)=\frac{ab}{2}.2ab(a^2+b^2)\leq \frac{ab}{2}\left(\frac{2ab+a^2+b^2}{2}\right)^2$

$\Leftrightarrow a^2b^2(a^2+b^2)\leq \frac{ab}{2}(a+b)^2=\frac{ab}{2}.4=2ab(1)$

Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:

$2ab\leq 2\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=2(\frac{2}{2})^2=2(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow a^2b^2(a^2+b^2)\leq 2$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$Câu trả lời: Lời giải:
Áp dụng BĐT Cô-si ngược dấu ta có:

$a^2b^2(a^2+b^2)=\frac{ab}{2}.2ab(a^2+b^2)\leq \frac{ab}{2}\left(\frac{2ab+a^2+b^2}{2}\right)^2$

$\Leftrightarrow a^2b^2(a^2+b^2)\leq \frac{ab}{2}(a+b)^2=\frac{ab}{2}.4=2ab(1)$

Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:

$2ab\leq 2\left(\frac{a+b}{2}\right)^2=2(\frac{2}{2})^2=2(2)$

Từ $(1);(2)\Rightarrow a^2b^2(a^2+b^2)\leq 2$ (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=1$

§1. Bất đẳng thức