Question

Cho a,b là 2 số thay đổi thỏa mãn điều kiện a>0 và \(a+b\ge1\).Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A=\(\frac{8a^2+b}{4a}+b^2\)

Answer 1

Lời giải:
Vì $a+b\geq 1\Rightarrow b\geq 1-a; a\geq 1-b$. Do đó:

\(A\geq \frac{8a^2+1-a}{4a}+b^2=2a+\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}+b^2\)

\(\geq a+1-b+\frac{1}{4a}-\frac{1}{4}+b^2=\left(a+\frac{1}{4a}\right)+(b^2-b+\frac{1}{4})+\frac{1}{2}\)

Áp dụng BĐT AM-GM: \(a+\frac{1}{4a}\geq 1\)

$b^2-b+\frac{1}{4}=(b-\frac{1}{2})^2\geq 0$

Do đó: $A\geq 1+0+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$

Vậy $A_{\min}=\frac{3}{2}$. Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$