A=\(\frac{4}{2ab}+\frac{3}{a^2+b^2}+14\)
=\(\frac{1}{2ab}+3\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)+14\)
Áp dụng BĐT AM-GM cho 2 số không âm có:
\(a+b\ge2\sqrt{ab}\)\(\Leftrightarrow\)\(2\sqrt{ab}\le1\Leftrightarrow ab\le\frac{1}{4}\)
\(\Leftrightarrow\frac{1}{2ab}\ge2\)(1)
Áp dụng BĐT \(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge\frac{4}{x+y}\)ta có:\(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{4}{\left(a+b\right)^2}=4\)(2)
Từ (1) và (2) =>A\(\ge\)2+3.4+14=28
Dấu "=" xảy ra\(\Leftrightarrow\)a=b=\(\frac{1}{2}\)
A=\(\frac{2}{ab}+\frac{3}{a^2+b^2}+14=\frac{1}{2ab}+\frac{3}{2ab}+\frac{3}{a^2+b^2}+14=\frac{1}{2ab}+3\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)\)+14
Áp dụng bđt Cauchy Schawrz dạng Engel: \(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\ge\frac{\left(1+1\right)^2}{2ab+a^2+b^2}=\frac{2^2}{\left(a+b\right)^2}=\frac{4}{1^2}=4\)(1)
Mặt khác áp dụng bđt Cô-si: \(a^2+b^2\ge2ab\Leftrightarrow a^2+b^2+2ab\ge4ab\Leftrightarrow\left(a+b\right)^2\ge4ab\)
\(\Leftrightarrow1^2\ge4ab\Leftrightarrow2ab\le\frac{1}{2}\Leftrightarrow\frac{1}{2ab}\ge2\)(2)
Từ (1) và (2) suy ra \(A=\frac{1}{2ab}+3\left(\frac{1}{2ab}+\frac{1}{a^2+b^2}\right)+14\ge2+3.4+14=28\)
Dấu "=" xảy ra khi a=b=1/2
