Question

cho A= \(\sqrt{2x-3}+\sqrt{5-2x}\)(\(\frac{3}{2}\)\(\le\)x\(\le\)\(\frac{5}{2}\)) có giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất lần lượt là a,b.Gía trị của a²+b là

Answer 1

Lời giải:

Ta có:

$A^2=2x-3+5-2x+2\sqrt{(2x-3)(5-2x)}=2+2\sqrt{(2x-3)(5-2x)}\geq 2$

$\Leftrightarrow (A-\sqrt{2})(A+\sqrt{2})\geq 0$

Mà $A$ luôn không âm nên $A+\sqrt{2}\geq 0$

$\Rightarrow A-\sqrt{2}\geq 0\Rightarrow A\geq \sqrt{2}$

Vậy $A_{\min}=\sqrt{2}\Rightarrow b=\sqrt{2}$

Mặt khác: Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

$A^2\leq (2x-3+5-2x)(1+1)=4\Rightarrow A\leq 2$

Vậy $A_{\max}=2\Rightarrow a=2$

Khi đó: $a^2+b=2^2+\sqrt{2}=4+\sqrt{2}$