Chương I - Căn bậc hai. Căn bậc ba

Adu Darkwa

Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a2 + b2 = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

\(B=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\sqrt{\frac{a}{b}}-\sqrt{\frac{b}{a}}\right)^2\)

Akai Haruma
30 tháng 11 2020 lúc 1:39

Lời giải:

\(B=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\right)=\frac{a+b}{ab}-\frac{a^2+b^2}{ab}+2\)

\(=\frac{a+b-1}{ab}+2=\frac{a+b-1}{\frac{(a+b)^2-(a^2+b^2)}{2}}+2=\frac{2(a+b-1)}{(a+b)^2-1}+2\)

\(=\frac{2}{a+b+1}+2\)

Áp dụng BĐT AM-GM:

\(2=2(a^2+b^2)\geq (a+b)^2\Rightarrow a+b\leq \sqrt{2}\)

\(\Rightarrow B\geq \frac{2}{\sqrt{2}+1}+2=2\sqrt{2}\)

Vậy $B_{\min}=2\sqrt{2}$ tại $a=b=\frac{1}{\sqrt{2}}$

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
Angela jolie
Xem chi tiết
Đặng Thị Thu Thảo
Xem chi tiết
Nguyễn Thúy linh
Xem chi tiết
Hoàng Linh Chi
Xem chi tiết
Pham Thanh Thuong
Xem chi tiết
Nguyễn Thùy Chi
Xem chi tiết
Huỳnh Thị Thu Uyên
Xem chi tiết
hello sunshine
Xem chi tiết
Xem chi tiết
Linh Nguyen
Xem chi tiết