Violympic toán 9

Kimetsu No Yaiba

Cho \(a, b, c>0\) và \(a+b+c\ge6\). Tìm GTNN của 2 biểu thức sau

\(A=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c+a}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a+b}}\)

\(B=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\)

Nguyễn Việt Lâm
4 tháng 10 2022 lúc 22:47

2 BĐT này đều áp dụng Mincopxki là ra thôi:

\(A=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b+c}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c+a}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a+b}}\)

\(A\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{1}{\sqrt{c+a}}+\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}\right)^2}\)

Đặt \(P=\dfrac{1}{\sqrt{a+b}}+\dfrac{1}{\sqrt{b+c}}+\dfrac{1}{\sqrt{c+a}}\ge\dfrac{9}{\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}}\)

\(P\ge\dfrac{9}{\sqrt{3\left(a+b+b+c+c+a\right)}}=\dfrac{9}{\sqrt[]{6\left(a+b+c\right)}}\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{6\left(a+b+c\right)}}\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{\dfrac{31\left(a+b+c\right)^2}{32}+\dfrac{1}{32}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{12\left(a+b+c\right)}+\dfrac{81}{12\left(a+b+c\right)}}\)

\(\Rightarrow A\ge\sqrt{\dfrac{31}{32}.6^2+3\sqrt[3]{\dfrac{81^2\left(a+b+c\right)^2}{32.12^2}}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=2\)

Bình luận (1)
Nguyễn Việt Lâm
4 tháng 10 2022 lúc 22:49

\(B=\sqrt{a^2+\dfrac{1}{b^2}}+\sqrt{b^2+\dfrac{1}{c^2}}+\sqrt{c^2+\dfrac{1}{a^2}}\)

\(B\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)^2}\)

\(B\ge\sqrt{\left(a+b+c\right)^2+\left(\dfrac{9}{a+b+c}\right)^2}\)

\(B\ge\sqrt{\dfrac{15}{16}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{1}{16}\left(a+b+c\right)^2+\dfrac{81}{\left(a+b+c\right)^2}}\)

\(B\ge\sqrt{\dfrac{15}{16}.6^2+2\sqrt{\dfrac{81\left(a+b+c\right)^2}{16\left(a+b+c\right)^2}}}=\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
oooloo
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
dia fic
Xem chi tiết
oooloo
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết
Mai Huyền My
Xem chi tiết
Tiểu Bảo Bảo
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Nguyễn Thế Hiếu
Xem chi tiết