Sửa đề cho bạn luôn nhé!
\(\text{Ta có:}\)
\(\dfrac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\)
\(\text{Nhân cả hai vế của đẳng thức trên với}\) \(a^2+b^2+c^2\ne0\) \((do\) \(a,b,c\ne0\)),\(\text{ ta được:}\)
\(x^2+y^2+z^2=\left(a^2+b^2+c^2\right)\left(\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}+\dfrac{z^2}{c^2}\right)\) \(\left(1\right)\)
\(\text{Khi đó, ta khai triển vế phải của}\) \(\left(1\right)\) \(\text{thì} \) \(\left(1\right)\) \(\text{trở thành:}\)
\(VP=x^2+\dfrac{a^2y^2}{b^2}+\dfrac{a^2z^2}{c^2}+\dfrac{b^2x^2}{a^2}+y^2+\dfrac{b^2z^2}{c^2}+\dfrac{c^2x^2}{a^2}+\dfrac{c^2y^2}{b^2}+z^2\)
\(\text{So sánh vế trái của đẳng thức}\) \(\left(1\right)\), \(\text{ta dễ dàng nhận thấy cả hai vế có cùng đa thức}\) \(x^2+y^2+z^2\) \(\text{nên ta có thể viết lại }\) \(\left(1\right)\) \(\text{như sau:}\)
\(\dfrac{a^2y^2}{b^2}+\dfrac{a^2z^2}{c^2}+\dfrac{b^2x^2}{a^2}+\dfrac{b^2z^2}{c^2}+\dfrac{c^2x^2}{a^2}+\dfrac{c^2y^2}{b^2}=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\left(\dfrac{b^2x^2}{a^2}+\dfrac{c^2x^2}{a^2}\right)+\left(\dfrac{c^2y^2}{b^2}+\dfrac{a^2y^2}{b^2}\right)+\left(\dfrac{a^2z^2}{c^2}+\dfrac{b^2z^2}{c^2}\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\) \(\dfrac{x^2}{a^2}\left(b^2+c^2\right)+\dfrac{y^2}{b^2}\left(c^2+a^2\right)+\dfrac{z^2}{c^2}\left(a^2+b^2\right)=0\) \(\left(2\right)\)
\(\text{Mặt khác, ta cũng có }\) \(a,b,c\ne0\) (gt) nên \(a^2,b^2,c^2\ne0;\) \(a^2+b^2\ne0;\) \(b^2+c^2\ne0\) và \(c^2+a^2\ne0\) \(\left(3\right)\)
\(Từ\) \(\left(2\right)\) \(và\) \(\left(3\right)\),\(\text{ ta dễ dàng suy ra được }\) \(x=y=z=0\)
\(Vậy \) \(x^{2019}+y^{2019}+z^{2019}=0\) \((đpcm)\)
