Question

Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác. CMR:

a) \(a^2+b^2+c^2< 2\left(ab+bc+ca\right)\)

b) \(\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{c}{a+b-c}\ge3\)

c) \(\dfrac{1}{a+b},\dfrac{1}{b+c},\dfrac{1}{c+a}\)cũng là độ dài ba cạnh của 1 tam giác

Answer 1

a)a,b,c là độ dài 3 cạnh của 1 tam giác

\(\Rightarrow a< b+c\Rightarrow a^2< ab+ac\)

TT\(\Rightarrow b^2< ba+bc\)

\(c^2< ca+cb\)

Cộng vế theo vế ta có đpcm

Answer 2

b)BĐT\(\Leftrightarrow\dfrac{a}{b+c-a}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{b}{a+c-b}+\dfrac{1}{2}+\dfrac{c}{a+b-c}+\dfrac{1}{2}\ge\dfrac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{a+b+c}{b+c-a}+\dfrac{a+b+c}{a+c-b}+\dfrac{a+b+c}{a+b-c}\right)\ge\dfrac{9}{2}\)

\(\Leftrightarrow\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{b+c-a}+\dfrac{1}{c+a-b}+\dfrac{1}{a+b-c}\right)\ge9\)(đúng theo AM-GM)