Question

Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn \(a^2+b^2+c^2=3\). CMR: \(ab+bc+ca+a+b+c\le6\)

Answer 1

Với mọi số thực a;b;c ta luôn có:

\(\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow2a^2+2b^2+2c^2\ge2ab+2bc+2ca\) (1)

Tương tự: \(\left(a-1\right)^2+\left(b-1\right)^2+\left(c-1\right)^2\ge0\)

\(\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+3\ge2a+2b+2c\) (2)

Cộng vế với vế (1) và (2)

\(\Rightarrow3\left(a^2+b^2+c^2\right)+3\ge2\left(ab+bc+ca+a+b+c\right)\)

\(\Leftrightarrow ab+bc+ca+a+b+c\le6\)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)