Question

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a²+b²+c²=3.

Chứng minh rằng: a/b + b/c + c/a >= 9/(a+b+c)

 

Answer 1

Áp dụng BĐT cô si ta có :

\(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge3\sqrt[3]{\frac{a}{b}.\frac{b}{c}.\frac{c}{a}}=3\)

\(\Rightarrow BĐT\)cần \(CM\): \(3>\frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow a+b+c>3\)

Mà a,b,c > 0 => abc > 0

 \(\Rightarrow a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\ge3\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\hept{\begin{cases}a=b=c\\a^2=b^2=c^2=1\end{cases}\Leftrightarrow}a=b=c=1\)

Answer 2

\(abc\ge1\)khi nào vậy bạn

Answer 3

Áp dụng BĐT Cauchy-Schawz ta có: \(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\)

Ta sẽ chứng minh \(\frac{\left(a+b+c\right)^2}{ab+bc+ca}\ge\frac{9}{a+b+c}\Leftrightarrow\frac{3}{ab+bc+ca}+2\ge\frac{9}{a+b+c}\)

Đặt a+b+c=t ta cần chứng minh 

\(\frac{6}{t^2-3}+2\ge\frac{9}{t}\Leftrightarrow\left(t+3\right)\left(t-3\right)^2\ge0\)

BĐT cuối luôn đúng do đó bài toán được chứng minh xong

Dấu "=" xảy ra <=> a=b=c

Answer 4

Quỳnh j đó : ủa cái cuối phải là \(\left(2t+3\right)\left(t-3\right)^2\ge0\)chứ nhỉ