Violympic toán 9

Thuyết Dương

Cho a, b, c là các số thực dương, thỏa mãn a + b+ c=3. Chứng minh rằng:

\(\frac{a^2}{\sqrt{4a+3b+2}}+\frac{b^2}{\sqrt{4b+3c+2}}+\frac{c^2}{\sqrt{4c+3a+2}}\ge1\)

Rồng Đom Đóm
22 tháng 5 2019 lúc 20:08

Ta có:\(\sqrt{4a+3b+2}\le\frac{9+4a+3b+2}{6}=\frac{4a+3b+11}{6}\)

\(\Rightarrow\sum\frac{a^2}{\sqrt{4a+3b+2}}\ge6.\sum\frac{a^2}{4a+3b+11}\)

Lại có:\(6.\sum\frac{a^2}{4a+3b+11}\ge6.\frac{\left(a+b+c\right)^2}{7\left(a+b+c\right)+33}=\frac{54}{54}=1\)

\(\Rightarrow\sum\frac{a^2}{\sqrt{4a+3b+2}}\ge1\)

"="<=>x=y=z=1

Bình luận (0)
Nguyễn Việt Lâm
22 tháng 5 2019 lúc 20:05

\(VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{4a+3b+2}+\sqrt{4b+3c+2}+\sqrt{4c+3a+2}}\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{\left(1+1+1\right)\left(4a+3b+2+4b+3c+2+4c+3a+2\right)}}\)

\(\Rightarrow VT\ge\frac{\left(a+b+c\right)^2}{\sqrt{3\left(7\left(a+b+c\right)+6\right)}}=1\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi \(a=b=c=1\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết
Bi Bi
Xem chi tiết
Thai Hoc Bui
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
Vũ Cao cườngf ff
Xem chi tiết
Tớ Thích Cậu
Xem chi tiết
Nguyễn Bùi Đại Hiệp
Xem chi tiết
Phác Chí Mẫn
Xem chi tiết