Question

Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

\(\left(a^2+1\right)\left(b^2+1\right)\left(c^2+1\right)\ge\frac{15}{6}\left(a+b+c+1\right)^2\)

Answer 1

Nguyễn Thanh Hiền: Ok. Nếu là $\frac{5}{16}$ thì bạn giải tương tự như bài $(a^2+3)(b^2+3)(c^2+3)$ đã đăng trước.

Áp dụng BĐT Bunhiacopxky:

\((a^2+1)[1+(b+c+1)^2]\geq (a+b+c+1)^2\)

\(\Rightarrow \frac{5}{16}(a^2+1)[1+(b+c+1)^2]\geq \frac{5}{16}(a+b+c+1)^2\)

Ta cần chứng minh:

\((b^2+1)(c^2+1)\geq \frac{5}{16}[1+(b+c+1)^2]\)

\(\Leftrightarrow 16(b^2+1)(c^2+1)\geq 5[1+(b+c+1)^2]\)

\(\Leftrightarrow 16b^2c^2+11b^2+11c^2+6-10bc-10b-10c\geq 0\)

\(\Leftrightarrow (4bc-1)^2+\frac{5}{2}(2b-1)^2+\frac{5}{2}(2c-1)^2+(b-c)^2\geq 0\)

(luôn đúng)

Do đó ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $a=b=c=\frac{1}{2}$

Answer 2

Bạn xem lại đề. BĐT sai với $a=b=c=1$