Câu hỏi của Đặng Kim Anh

Question

Cho 3 số thực dương x , y , z thỏa mãn $x+y+z\ge3$Chứng minh rằng:  $\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}$

Thanh Tùng DZ · Accepted Answer

Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :$\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}$Mà $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le x+y+z$$\Rightarrow$$\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}$Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = $\frac{3}{2}$Câu trả lời: Áp dụng BĐT Cô-si dạng Engel,ta có :$\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}$Mà $\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le x+y+z$$\Rightarrow$$\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}$Dấu "=" xảy ra khi x = y = z = $\frac{3}{2}$

Thanh Tùng DZ · Answer

nhầm sửa x = y = z = 1 nhaCâu trả lời: nhầm sửa x = y = z = 1 nha

Kudo Shinichi · Answer

Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số $\Rightarrow\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}$Xét $\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}$Áp dụng bất đẳng thức Cacuchy cho 2 bộ số thực không âm$\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2}\\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\end{cases}}$$\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}+\frac{x+y}{2}$$\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}$$\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le x+y+z$$\Rightarrow x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le2\left(x+y+z\right)$$\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}$Ta có : $x+y+z\ge3$$\Rightarrow\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}$$\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{3}{2}$Vì $\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}$$\Rightarrow\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)$Chúc bạn học tốt !!!Câu trả lời: Áp dụng bất đẳng thức cộng mẫu số $\Rightarrow\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}$Xét $\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}$Áp dụng bất đẳng thức Cacuchy cho 2 bộ số thực không âm$\Rightarrow\hept{\begin{cases}\sqrt{yz}\le\frac{y+z}{2}\\sqrt{xz}\le\frac{x+z}{2}\\sqrt{xy}\le\frac{x+y}{2}\end{cases}}$$\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le\frac{y+z}{2}+\frac{x+z}{2}+\frac{x+y}{2}$$\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le\frac{2\left(x+y+z\right)}{2}$$\Rightarrow\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}\le x+y+z$$\Rightarrow x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}\le2\left(x+y+z\right)$$\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\frac{x+y+z}{2}$Ta có : $x+y+z\ge3$$\Rightarrow\frac{x+y+z}{2}\ge\frac{3}{2}$$\Rightarrow\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{xy}+\sqrt{xz}+\sqrt{yz}}\ge\frac{3}{2}$Vì $\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{\left(x+y+z\right)^2}{x+y+z+\sqrt{yz}+\sqrt{xz}+\sqrt{xy}}$$\Rightarrow\frac{x^2}{x+\sqrt{yz}}+\frac{y^2}{y+\sqrt{xz}}+\frac{z^2}{z+\sqrt{xy}}\ge\frac{3}{2}\left(đpcm\right)$Chúc bạn học tốt !!!

Khoá học trên OLM (olm.vn)

Khoá học trên OLM (olm.vn)