Question

Cho 3 số a, b, c thuộc R^* thỏa mãn điều kiện: a + b + c = 1 và 1/a + 1/b + 1/ c = 1 .Chứng minh rằng có ít nhất một số bằng 1

Answer 1

Lời giải:

Từ điều kiện đề bài suy ra:

$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$
$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{1}{c}-\frac{1}{a+b+c}=0$

$\Leftrightarrow \frac{a+b}{ab}+\frac{a+b}{c(a+b+c)}=0$

$\Leftrightarrow (a+b)(\frac{1}{ab}+\frac{1}{c(a+b+c)})=0$

$\Leftrightarrow (a+b).\frac{ab+c(a+b+c)}{abc(a+b+c)}=0$

$\Leftrightarrow (a+b).\frac{(c+a)(c+b)}{abc(a+b+c)}=0$

$\Rightarrow (a+b)(c+a)(c+b)=0$

$\Rightarrow (1-c)(1-b)(1-a)=0$

$\Rightarrow 1-c=0$ hoặc $1-b=0$ hoặc $1-a=0$

$\Leftrightarrow a=1$ hoặc $b=1$ hoặc $c=1$ (đpcm)