Ta chứng minh trong 2003 số nguyên dương đã cho chỉ nhận được nhiều nhất 4 giá trị khác nhau.
Thật vậy giả sử trong các số đã cho có nhiều hơn 4 số khác nhau, giả sử a,b,c,d,e là 5 số khác nhau bất kì. Không mất tính tổng quát giả sử a < b < c < d < e ( 1 )
Theo đầu bài : ab=cd ( 2 )
Theo ( 1 ) không xảy ra ab=cd hoặc ac=bd
Tương tự 4 số khác nhau a,b,c,e thì ae=bc ( 3 )
Từ ( 2 ) và ( 3 ) suy ra d = e . Mâu thuẫn
Nên trong 2003 số nguyên dương đã cho không thể có hơn 4 số khác nhau. Mà 2003 = 4.500 + 3
Do đó trong 2003 số tự nhiên dương đã cho luôn tìm được ít nhất
500 + 1 = 501 số bằng nhau
Vậy ...
