Ta có : \(2008a^2+a=2009b^2+b\)
\(\Leftrightarrow2008\left(a^2-b^2\right)+\left(a-b\right)=b^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2008b+2008b+1\right)=b^2\) (1)
Mặt khác : \(2008a^2+a=2009b^2+b\)
\(\Leftrightarrow2009a^2-2009b^2+\left(a-b\right)=a^2\)
\(\Leftrightarrow2009\left(a-b\right)\left(a+b\right)+\left(a-b\right)=a^2\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)\left(2009a+2009b+1\right)=a^2\) (2)
Từ (1) và (2)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2\left(2008a+2008b+1\right)\left(2009a+2009b+1\right)=\left(ab\right)^2\) (*)
Nếu : \(a=b\) thì từ (*)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-b=0\\2008+2008b+1=1\end{cases}}\) đều là số chính phương
Nếu \(a\ne b\) thì từ (*) \(\Rightarrow2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\) là số chính phương
Gọi \(\left(2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\right)=d\left(d\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}2008a+2008b+1⋮d\\2009a+2009b+1⋮d\end{cases}}\) \(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a+b⋮d\\2009\left(a+b\right)+1⋮d\end{cases}}\)
\(\Rightarrow1⋮d\Rightarrow d=1\left(d\inℕ^∗\right)\)
\(\Rightarrow\left(2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\right)=1\)
mà : \(2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\) là số chính phương
\(\Rightarrow2008a+2008b+1,2009a+2009b+1\) đồng thời là số chính phương
Nên từ (1) \(\Rightarrow a-b\) là số chính phương.
Vậy : bài toán được chứng minh .
