Câu 4. (3 điểm). Cho đường tròn (O) và điểm M nằm bên ngoài đường tròn (O). Kẻ hai tiếp tuyến MA, MB với đường tròn (O) (A, B là các tiếp điểm). Kẻ BD là đường kính của (O). Đường thẳng MD cắt đường tròn (O) tại điểm C (C khác D). Gọi H là giao điểm của AB và MO. Chứng minh rằng:
a) Tứ giác MBHC là tứ giác nội tiếp
b) MC.MD = MA2 và tia HA là tia phân giác của góc CHD
c) Cho MC.MD = 144 và OM = 13 (độ dài các đoạn thẳng đã cho có cùng đơn vị đo). Tính độ dài đường tròn (O) và diện tích hình tròn (O)
a: Xét (O) có
MB,MA là các tiếp tuyến
Do đó: MB=MA
=>M nằm trên đường trung trực của AB(1)
Ta có: OB=OA
=>O nằm trên đường trung trực của AB(2)
Từ (1),(2) suy ra MO là đường trung trực của AB
=>MO⊥AB tại H và H là trung điểm của AB
Xét (O) có
ΔBCD nội tiếp
BD là đường kính
Do đo; ΔBCD vuông tại C
=>BC⊥MD tại C
Xét tứ giác MCHB có \(\hat{MCB}=\hat{MHB}=90^0\)
nên MCHB là tứ giác nội tiếp
b: Xét ΔMBD vuông tại B có BC là đường cao
nên \(MC\cdot MD=MB^2\)
mà MB=MA
nên \(MC\cdot MD=MA^2\)
c: \(MC\cdot MD=MA^2\)
=>\(MA^2=144=12^2\)
=>AM=12
=>BM=12
ΔOBM vuông tại B
=>\(BO^2+BM^2=OM^2\)
=>\(BO=\sqrt{13^2-12^2}=5\)
Diện tích hình tròn (O) là:
\(S=BO^2\cdot\pi=25\pi\)
