Ta sẽ sử dụng phương pháp phân tích thành các phân số tối giản (phân tích thành hiệu) để thực hiện phép tính.
Bước 1: Phân tích số hạng tổng quátNhận thấy hiệu của hai thừa số dưới mẫu số trong mỗi phân số là không đổi:
\(6 - 1 = 5\)\(11 - 6 = 5\)...\(56 - 51 = 5\)Ta tách hằng số 3 ra khỏi tử số, và sử dụng công thức phân tích phân số: \(\frac{1}{a \cdot b} = \frac{1}{b - a} \left(\right. \frac{1}{a} - \frac{1}{b} \left.\right)\). Vì \(b - a = 5\) ở mỗi số hạng, ta có thể viết lại biểu thức \(S\) như sau:
\(S = 3 \cdot \left(\right. \frac{1}{1 \cdot 6} + \frac{1}{6 \cdot 11} + \hdots + \frac{1}{51 \cdot 56} \left.\right)\)
Áp dụng công thức phân tích:
\(S = 3 \cdot \left[\right. \frac{1}{5} \left(\right. \frac{1}{1} - \frac{1}{6} \left.\right) + \frac{1}{5} \left(\right. \frac{1}{6} - \frac{1}{11} \left.\right) + \hdots + \frac{1}{5} \left(\right. \frac{1}{51} - \frac{1}{56} \left.\right) \left]\right.\)
Ta đặt thừa số chung \(\frac{1}{5}\) ra ngoài:
\(S = 3 \cdot \frac{1}{5} \left[\right. \left(\right. \frac{1}{1} - \frac{1}{6} \left.\right) + \left(\right. \frac{1}{6} - \frac{1}{11} \left.\right) + \hdots + \left(\right. \frac{1}{51} - \frac{1}{56} \left.\right) \left]\right.\)
Trong dấu ngoặc vuông, các phân số ở giữa sẽ triệt tiêu lẫn nhau (hiện tượng này gọi là "chuỗi lồng" hay "chuỗi rút gọn"):
\(S = \frac{3}{5} \left(\right. \frac{1}{1} - \frac{1}{56} \left.\right)\)
\(S = \frac{3}{5} \left(\right. \frac{56}{56} - \frac{1}{56} \left.\right)\)
\(S = \frac{3}{5} \left(\right. \frac{56 - 1}{56} \left.\right)\)
\(S = \frac{3}{5} \cdot \frac{55}{56}\)
Ta rút gọn \(55\) với \(5\), vì \(55 = 5 \times 11\):
\(S = 3 \cdot \frac{11}{56}\)
\(S = \frac{33}{56}\)
Kết quả của biểu thức là \(\frac{33}{56}\).
So sánh với các đáp án:
A. \(165 / 56\)
B. \(50 / 56\)
C. \(33 / 56\)
D. \(55 / 56\)
Đáp án đúng là C.
là:
là:
