Câu 1 : Tìm điều kiện để hàm số y = -x3 + 3x2 + (m - 2)x + 1 có 2 điểm cực trị đều dương
A. m < 2 B. m > 2 C. -1 < m < 2 D. m < -1
Câu 2 : Tìm điều kiện m để đồ thị hàm số y = \(\frac{1}{3}x^3-mx^2+\left(m^2-4\right)x+3\) có hai điểm cực trị nằm về hai phía của trục tung
A. -2 < m < 2 B. \(\left[{}\begin{matrix}m>2\\m< -2\end{matrix}\right.\) C. 0 < m < 2 D. -2 < m < 0
Câu 3 : Có bao nhiêu số nguyên m sao cho hàm số y = \(\frac{1}{3}x^3-2x^2+mx\) đạt cực đại tại hai điểm \(x_1\) , \(x_2\) và \(x^2_1+x^2_2< 14\) ?
A. 2 B. 1 C. Vô số D. 4
Câu 4 : Tìm điều kiện m để đồ thị hàm số \(y=mx^4+\left(m-3\right)x^2+1\) có 3 điểm cực trị
A. 0 < m < 3 B. m < 0 C. m > 3 D. \(\left[{}\begin{matrix}m< 0\\m>3\end{matrix}\right.\)
Câu 5 : Tìm m sao cho đồ thị hàm số y = \(x^4-2mx^2+3\) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác đều
A. \(\sqrt{3}\) B. \(\sqrt[3]{3}\) C. 1 D. 2
Câu 6 : Tìm điều kiện m sao cho đồ thị hàm số y = \(x^4+2mx^2-3\) có 3 điểm cực trị tạo thành 1 tam giác có diện tích nhỏ hơn \(9\sqrt{3}\)
A. \(m>\sqrt{3}\) B. \(m< \sqrt{3}\) C. \(0< m< \sqrt{3}\) D. \(0< m< 1\)
Câu 6:
Để ĐTHS $y$ có 3 điểm cực trị thì:
$y'=4x^3+4mx=0$ có 3 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow x(x^2+m)=0$ có 3 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow m< 0$
Khi đó, 3 điểm cực trị của ĐTHS là:
$A(0;-3); B(\sqrt{-m}; -m^2-3); C(-\sqrt{-m}; -m^2-3)$
$\overrightarrow{AB}=(\sqrt{-m}; -m^2); \overrightarrow{AC}=(-\sqrt{-m}; -m^2)$
Diện tích tam giác $ABC$ là:
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2.AC^2-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^2}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{(-m+m^4)(-m+m^4)-(m+m^4)^2}\)
\(=\sqrt{-m^5}\)
$S_{ABC}<9\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow -m^5< 243$
$\Leftrightarrow m> -3$
Vậy $0> m>-3$. Không có đáp án nào đúng.
Câu 2:
$y'=-3x^2+6x+(m-2)=0$
Để hàm số có 2 điểm cực trị $x_1,x_2$ đồng nghĩa với PT $-3x^2+6x+(m-2)=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
$\Leftrightarrow \Delta'=9+3(m-2)>0\Leftrightarrow m>-1(1)$
Hai điểm cực trị cùng dương khi:
\(\left\{\begin{matrix} x_1+x_2=2>0\\ x_1x_2=\frac{m-2}{-3}>0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow m< 2(2)\)
Từ $(1);(2)\Rightarrow -1< m< 2$
Đáp án C.
Câu 2:
Để đths có 2 điểm cực trị thì trước tiên:
$y'=x^2-2mx+m^2-4=0$ có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
Điều này xảy ra khi $\Delta'=m^2-(m^2-4)>0\Leftrightarrow m\in\mathbb{R}$
Để 2 điểm cực trị của đồ thị $y$ nằm về hai phía của trục tung thì: $x_1x_2< 0$
$\Leftrightarrow m^2-4< 0$
$\Leftrightarrow -2< m< 2$
Đáp án A.
Câu 3: Sửa thành đạt cực đại và cực tiểu tại tại 2 điểm $x_1,x_2$
Để hàm số $y$ đạt cực trị tại 2 điểm $x_1,x_2$ thì $y'=x^2-4x+m=0$ cần có 2 nghiệm phân biệt $x_1,x_2$
Điều này xảy ra khi $\Delta'=4-m>0\Leftrightarrow m< 4(1)$
Để $x_1,x_2$ thỏa mãn $x_1^2+x_1^2< 14$
$\Leftrightarrow (x_1+x_2)^2-2x_1x_2< 14$
$\Leftrightarrow 4^2-2.m< 14$
$\Leftrightarrow m> 1(2)$
Từ $(1);(2)\Rightarrow 1< m< 4$
Vì $m$ nguyên nên $m\in\left\{2;3\right\}$. Vậy có 2 giá trị $m$ thỏa mãn.
Đáp án A.
Câu 4:
Để đths $y$ có 3 điểm cực trị thì PT:
$y'=4mx^3+2(m-3)x=0$ có 3 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow x[2mx^2+(m-3)]=0$ có 3 nghiệm phân biệt.
Dễ thấy pt trên có 1 nghiệm $x=0$
Do đó cần tìm $m$ để $2mx^2+(m-3)=0$ có 2 nghiệm phân biệt khác $0$
Điều này xảy ra khi \(\left\{\begin{matrix} 2m\neq 0\\ 2m.0^2+m-3\neq 0\\ \frac{3-m}{2m}>0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} m\neq 0\\ m\neq 3\\ 3> m> 0\end{matrix}\right.\Leftrightarrow 3>m>0\)
Đáp án A.
Câu 5:
Để ĐTHS $y$ có 3 điểm cực trị thì:
$y'=4x^3-4mx=0$ có 3 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow x(x^2-m)=0$ có 3 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow m>0$
Khi đó, 3 điểm cực trị của đths là:
$A(0;3); B(\sqrt{m}, -m^2+3); C(-\sqrt{m}, -m^2+3)$
Để $ABC$ là tam giác đều thì:
$AB^2=BC^2=CA^2$
$\Leftrightarrow m+m^4=4m$
$\Leftrightarrow m^4=3m$. Kết hợp với đk $m>0$ ta suy ra $m=\sqrt[3]{3}$
Đáp án B.
Câu 6:
Để ĐTHS $y$ có 3 điểm cực trị thì:
$y'=4x^3+4mx=0$ có 3 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow x(x^2+m)=0$ có 3 nghiệm phân biệt
$\Leftrightarrow m< 0$
Khi đó, 3 điểm cực trị của ĐTHS là:
$A(0;-3); B(\sqrt{-m}; -m^2-3); C(-\sqrt{-m}; -m^2-3)$
$\overrightarrow{AB}=(\sqrt{-m}; -m^2); \overrightarrow{AC}=(-\sqrt{-m}; -m^2)$
Diện tích tam giác $ABC$ là:
\(S_{ABC}=\frac{1}{2}\sqrt{AB^2.AC^2-(\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC})^2}\)
\(=\frac{1}{2}\sqrt{(-m+m^4)(-m+m^4)-(m+m^4)^2}\)
\(=\sqrt{-m^5}\)
$S_{ABC}<9\sqrt{3}$
$\Leftrightarrow -m^5< 243$
$\Leftrightarrow m> -3$
Vậy $0> m>-3$. Không có đáp án nào đúng.
