Câu 1. Chứng minh √7 là số vô tỉ.
Câu 2.
a) Chứng minh: (ac + bd)2 + (ad – bc)2 = (a2 + b2)(c2 + d2)
b) Chứng minh bất dẳng thức Bunhiacôpxki: (ac + bd)2 ≤ (a2 + b2)(c2 + d2)
Câu 3. Cho x + y = 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: S = x2 + y2.
Câu 4.
a) Cho a ≥ 0, b ≥ 0. Chứng minh bất đẳng thức Cauchy:
b) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
c) Cho a, b > 0 và 3a + 5b = 12. Tìm giá trị lớn nhất của tích P = ab.
Câu 5. Cho a + b = 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: M = a3 + b3.
Câu 6. Cho a3 + b3 = 2. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: N = a + b.
Câu 7. Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
Câu 8. Tìm liên hệ giữa các số a và b biết rằng: |a + b| > |a - b|
Câu 9.
a) Chứng minh bất đẳng thức (a + 1)2 ≥ 4a
b) Cho a, b, c > 0 và abc = 1. Chứng minh: (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8
Câu 10. Chứng minh các bất đẳng thức:
a) (a + b)2 ≤ 2(a2 + b2)
b) (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2)
Câu 11. Tìm các giá trị của x sao cho:
a) |2x – 3| = |1 – x|
b) x2 – 4x ≤ 5
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1.
Câu 12. Tìm các số a, b, c, d biết rằng: a2 + b2 + c2 + d2 = a(b + c + d)
Câu 13. Cho biểu thức M = a2 + ab + b2 – 3a – 3b + 2001. Với giá trị nào của a và b thì M đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ nhất đó.
Câu 14. Cho biểu thức P = x2 + xy + y2 – 3(x + y) + 3. Chứng minh rằng giá trị nhỏ nhất của P bằng 0.
Câu 15. Chứng minh rằng không có giá trị nào của x, y, z thỏa mãn đẳng thức sau:
x2 + 4y2 + z2 – 2a + 8y – 6z + 15 = 0
mình có phần của mấy bài tập này
mình tải về rùi mà ko nhớ link
có đáp án nữa
1. Giả sử 7 là số hữu tỉ 7 m
n
(tối giản). Suy ra
2
2 2
2
7 m hay 7n m
n
(1).
Đẳng thức này chứng tỏ m2 7 mà 7 là số nguyên tố nên m 7. Đặt m = 7k
(k Z), ta có m2 = 49k2 (2). Từ (1) và (2) suy ra 7n2 = 49k2 nên n2 = 7k2 (3).
Từ (3) ta lại có n2 7 và vì 7 là số nguyên tố nên n 7. m và n cùng chia hết
cho 7 nên phân số m
n
không tối giản, trái giả thiết. Vậy 7 không phải là số
hữu tỉ; do đó 7 là số vô tỉ.
2. Khai triển vế trái và đặt nhân tử chung, ta được vế phải. Từ a) b) vì
(ad – bc)2 ≥ 0.
3. Cách 1 : Từ x + y = 2 ta có y = 2 – x. Do đó : S = x2 + (2 – x)2 = 2(x – 1)2
+ 2 ≥ 2.
Vậy min S = 2 x = y = 1.
Cách 2 : Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki với a = x, c = 1, b = y, d = 1,
ta có :
(x + y)2 ≤ (x2 + y2)(1 + 1) 4 ≤ 2(x2 + y2) = 2S S ≥ 2. mim S = 2
khi x = y = 1
4. b) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp số dương
bc và ca ; bc và ab ; ca và ab
a b a c b c
, ta lần lượt có:
bc ca 2 bc . ca 2c; bc ab 2 bc . ab 2b
a b a b a c a c
; ca ab 2 ca . ab 2a
b c b c
cộng
từng vế ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Dấu bằng xảy ra khi a = b =
c.
c) Với các số dương 3a và 5b , theo bất đẳng thức Cauchy ta có :
3a 5b 3a.5b
2
.
(3a + 5b)2 ≥ 4.15P (vì P = a.b) 122 ≥ 60P P ≤ 12
5
max P = 12
5
.
Dấu bằng xảy ra khi 3a = 5b = 12 : 2 a = 2 ; b = 6/5.
5. Ta có b = 1 – a, do đó M = a3 + (1 – a)3 = 3(a – ½)2 + ¼ ≥ ¼ . Dấu “=”
xảy ra khi a = ½ .
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 24
Vậy min M = ¼ a = b = ½ .
6. Đặt a = 1 + x b3 = 2 – a3 = 2 – (1 + x)3 = 1 – 3x – 3x2 – x3 ≤ 1 – 3x +
3x2 – x3 = (1 – x)3.
Suy ra : b ≤ 1 – x. Ta lại có a = 1 + x, nên : a + b ≤ 1 + x + 1 – x = 2.
Với a = 1, b = 1 thì a3 + b3 = 2 và a + b = 2. Vậy max N = 2 khi a = b = 1.
7. Hiệu của vế trái và vế phải bằng (a – b)2(a + b).
8. Vì | a + b | ≥ 0 , | a – b | ≥ 0 , nên : | a + b | > | a – b | a2 + 2ab + b2
≥ a2 – 2ab + b2
4ab > 0 ab > 0. Vậy a và b là hai số cùng dấu.
9. a) Xét hiệu : (a + 1)2 – 4a = a2 + 2a + 1 – 4a = a2 – 2a + 1 = (a – 1)2 ≥
0.
b) Ta có : (a + 1)2 ≥ 4a ; (b + 1)2 ≥ 4b ; (c + 1)2 ≥ 4c và các bất đẳng thức
này có hai vế đều dương, nên : [(a + 1)(b + 1)(c + 1)]2 ≥ 64abc = 64.1 = 82.
Vậy (a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ 8.
10. a) Ta có : (a + b)2 + (a – b)2 = 2(a2 + b2). Do (a – b)2 ≥ 0, nên (a + b)
2 ≤ 2(a2 + b2).
b) Xét : (a + b + c)2 + (a – b)2 + (a – c)2 + (b – c)2. Khai triển và rút gọn, ta
được :
3(a2 + b2 + c2). Vậy : (a + b + c)2 ≤ 3(a2 + b2 + c2).
11. a)
2x 3 1 x 3x 4 x 4
2x 3 1 x 3
2x 3 x 1 x 2 x 2
b) x2 – 4x ≤ 5 (x – 2)2 ≤ 33 | x – 2 | ≤ 3 -3 ≤ x – 2 ≤ 3 -1
≤ x ≤ 5.
c) 2x(2x – 1) ≤ 2x – 1 (2x – 1)2 ≤ 0. Nhưng (2x – 1)2 ≥ 0, nên chỉ có
thể : 2x – 1 = 0
Vậy : x = ½ .
12. Viết đẳng thức đã cho dưới dạng : a2 + b2 + c2 + d2 – ab – ac – ad = 0
(1). Nhân hai vế của (1) với 4 rồi đưa về dạng : a2 + (a – 2b)2 + (a – 2c)2 +
(a – 2d)2 = 0 (2). Do đó ta có :
a = a – 2b = a – 2c = a – 2d = 0 . Suy ra : a = b = c = d = 0.
13. 2M = (a + b – 2)2 + (a – 1)2 + (b – 1)2 + 2.1998 ≥ 2.1998 M ≥
1998.
CHUYÊN ĐỀ : BỒI DƯỠNG HS GIỎI VÀ NĂNG KHIẾU 25
Dấu “ = “ xảy ra khi có đồng thời :
a b 2 0
a 1 0
b 1 0
Vậy min M = 1998 a = b
= 1.
14. Giải tương tự bài 13.
15. Đưa đẳng thức đã cho về dạng : (x – 1)2 + 4(y – 1)2 + (x – 3)2 + 1 = 0.
