Violympic toán 9

Lâm ngọc mai

câu 1 :

Cho 3 số x,y,z thỏa mãn 0<x,y,z≤1 và x+y+z=2

Tìm GTNN của \(A=\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\)

câu 2 :

Tìm giá trị lớn nhất của A

Với a,b,c , d là các số dương và \(a+b+c+d\le1\)

\(A=\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)^4+\left(\sqrt{a}+\sqrt{c}\right)^4+\left(\sqrt{a}+\sqrt{d}\right)^4+\left(\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)^4+\left(\sqrt{b}+\sqrt{d}\right)^4+\left(\sqrt{c}+\sqrt{d}\right)^4\)

Hoàng Thị Ánh Phương
14 tháng 3 2020 lúc 15:50

Bài 1 :

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

\(\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(x-1\right)^2}{z}\frac{z}{4}}=\left|x-1\right|=1-x\)

\(\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(y-1\right)^2}{x}\frac{x}{4}}=\left|y-1\right|=1-y\)

\(\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge2\sqrt{\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\frac{y}{4}}=\left|z-1\right|=1-z\)

\(\Rightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{z}{4}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{x}{4}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}+\frac{y}{4}\ge1-x+1-y+1-z\)

\(\Leftrightarrow\frac{\left(x-1\right)^2}{z}+\frac{\left(y-1\right)^2}{x}+\frac{\left(z-1\right)^2}{y}\ge3-\left(x+y+z\right)-\frac{x+y+z}{4}=3-2-\frac{2}{4}=\frac{1}{2}\)

Vậy GTNN của \(A=\frac{1}{2}\Leftrightarrow x=y=z=\frac{2}{3}\)

Bình luận (0)
 Khách vãng lai đã xóa

Các câu hỏi tương tự
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
bach nhac lam
Xem chi tiết
le duc minh vuong
Xem chi tiết
Kiều Ngọc Tú Anh
Xem chi tiết
Big City Boy
Xem chi tiết
ghdoes
Xem chi tiết
nguyễn minh
Xem chi tiết
Angela jolie
Xem chi tiết