Question

Các bạn giải giúp mình với. Tks nhìu lun.

Cho a,b,c > 0 và a+b+c = 3.

Chứng minh: \(\frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ca}+\frac{c}{c+2ab}\ge1\)

Answer 1

Lời giải:

Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

\(\left [ \frac{a}{a+2bc}+\frac{b}{b+2ac}+\frac{c}{c+2ab} \right ][a(a+2bc)+b(b+2ac)+c(c+2ab)]\geq (a+b+c)^2=9\) Ta cần CM \(a(a+2bc)+b(b+2ac)+c(c+2ab)\leq 9\Leftrightarrow a^2+b^2+c^2+6abc\leq 9\)

Thật vậy, áp dụng BĐT Am-Gm ta có:

\(3(ab+bc+ac)=(a+b+c)(ab+bc+ac)\geq 3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}=9abc\)

\(\Rightarrow 6abc\leq 2(ab+bc+ac)\Rightarrow a^2+b^2+c^2+6abc\leq (a+b+c)^2=9\)

Từ $(1)$ và $(2)$ \(\Rightarrow \text{VT}\geq \frac{9}{a^2+b^2+c^2+6abc}\geq \frac{9}{9}=1 (\text{đpcm})\)

Dấu $=$ xảy ra khi $a=b=c=1$