Đại số lớp 8

Trần Băng Băng

BT1:Cho m2+n2=1 và a2+b2=1.Chứng minh rằng: -1<am+bn<1

BT2:Cho 4 số thỏa mãn a,b,c,d thỏa mãn a.b=1 và ac+bd=2

Chứng minh rằng 1-cd không âm

BT3: Cho a,b,c là các số thực bất kì . Chứng minh rằng

3(ab+bc+ca)=< (a+b+c)2=<3(a2+b2+c2)

Akai Haruma
21 tháng 3 2017 lúc 15:38

Bài 1)

Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

\(1=(a^2+b^2)(m^2+n^2)\geq (am+bn)^2\Rightarrow -1\leq am+bn\leq 1\)

Dấu bằng xảy ra khi \(\frac{a}{m}=\frac{b}{n}\) . Kết hợp với \(a^2+b^2=m^2+n^2=1\)

\(\Rightarrow \) dấu bằng xảy ra khi \(a=\pm m;b=\pm n\)

Bài 2)

Ta thấy:

\((ac-bd)^2\geq 0\Rightarrow a^2c^2+b^2d^2\geq 2abcd\Rightarrow (ac+bd)^2\geq 4abcd\)

\(\Leftrightarrow 4\geq 4cd\rightarrow cd\leq 1\Rightarrow 1-cd\geq 0\) (đpcm)

Dấu bằng xảy ra khi \(ac=bd=\pm 1\)\(cd=1\) ....

Bài 3)

Vế đầu:

\(\Leftrightarrow ab+bc+ac\leq a^2+b^2+c^2\)

Nhân $2$ và chuyển vế \(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\)

BĐT trên luôn đúng nên BĐT đầu tiên cũng đúng.

Vế sau:

\(\Leftrightarrow 2(a^2+b^2+c^2)\geq 2(ab+bc+ac)\)

\(\Leftrightarrow (a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2\geq 0\) (luôn đúng)

Do đó BĐT sau cũng luôn đúng với mọi số thực $a,b,c$

Dấu bằng xảy ra khi $a=b=c$

Bình luận (1)
ngonhuminh
21 tháng 3 2017 lúc 15:28

\(\left\{{}\begin{matrix}m^2+n^2=1\\a^2+b^2=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left(a^2+b^2\right)\left(m^2+n^2\right)=\left(am\right)^2+\left(an\right)^2+\left(bm\right)^2+\left(bn\right)^2=1\)\(\Leftrightarrow\left(am+bn\right)^2-\left[\left(ambn-\left(an\right)^2\right)+\left(ambn-\left(bm\right)^2\right)\right]=1\)\(\Leftrightarrow\left(am+bn\right)^2+\left[an\left(bm-an\right)\right]+\left[bm\left(an-bm\right)\right]=1\)

\(\Leftrightarrow\left(am+bn\right)^2-\left(bm-an\right)\left(an-bm\right)=1\)

\(\Leftrightarrow\left(am+bn\right)^2+\left(an-bm\right)^2=1\\ \)

\(\left(an-bm\right)^2\ge0\forall_{a,b,m,n}\Rightarrow\left(am+bn\right)^2\le1\)

\(\Rightarrow-1\le\left(am+bn\right)\le1\Rightarrow dpcm\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Trần Băng Băng
Xem chi tiết
Lê Ngọc Kiều Ly
Xem chi tiết
No ri do
Xem chi tiết
HỒ THỊ THÙY LINH
Xem chi tiết
Trần Băng Băng
Xem chi tiết
Đạt Nguyễn
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết
Hải Ninh
Xem chi tiết
Vũ Anh Quân
Xem chi tiết