Question

BT: Cho ΔABC có trung tuyến AM. Qua M kẻ đường thẳng

song song với AC cắt AB ở E. Qua M kẻ đường thẳng song

song với AB cắt AC ở F

a, Tứ giác AEMF là hình gì?

b, ΔABC có điều kiện gì thì AEMF là hình chữ nhật

c, Nếu ΔABC vuông cân ở A thì tứ giác AEMF là hình gì?

Answer 1

a,Xét tam giác BAC có:

EM//AC(theo đề bài)

BM = CM

Nên BE = AE

Xét tam giác BAC có

BE = AE

BM = CM

=> EM là đường trung bình của tam giác BAC

=> EM = \(\frac{1}{2}\)BC (1)

Xét tam giác CAB có:

MF//AB( theo đề bài)

CM = BM

=> AF = CF

=> F là trung điểm của Ac

=> AF = CF = \(\frac{1}{2}\)BC (2)

Từ (1), (2) => EM = AF

Do: EM // AC

Mà: F ∈ AC

Nên: EM// AF

Xét tứ giác AFME có

EM = AF

EM// AF

=> tứ giác AFME là hình bình hành

b, Để hình bình hành AFME là hình chữ nhật

<=> góc EAF = 90⁰

hay góc BAC = 90⁰

Vậy để tứ giác AFME là hình chữ nhật thì tam giác ABC phải có góc BAC = 90⁰

c, Ta có: BA ⊥ AC tại A

Mà MF //AB

Nên MF ⊥ AC

=> góc MFA = 90⁰

Tương tự ta có: góc MEA = 90⁰

Xét tứ giác MEAF có

góc MFA = goc MEA = góc EAF = 90⁰

=> tứ giác MEAF là hình chữ nhật

Xét tam giác ABC cân tại A

Có: AM là đường trung tuyến

=>AM đồng thời là đường phân giác

Xét hình chữ nhật MEAF có

AM đồng thời là đường phân giác của góc A

=> hình chữ nhật MEAF là hình vuông

Vây vs tam giác ABC vuông cân thì tứ giác MEAF là hình vuông

Cậu xem lại nhé sót chỗ nào xin thông cảm.

Answer 2

bài này không khó đâu bạn

a) Xét tứ giác AEMF có

AE//MF(AB//MF, E∈AB)

AF//ME(ME//AC, F∈AC)

Do đó: AEMF là hình bình hành(dấu hiệu nhận biết hình bình hành)

b) Tứ giác AEMF là hình chữ nhật khi và chỉ khi \(\widehat{A}=\widehat{AEM}=\widehat{EMF}=\widehat{AFM}=90\)độ

hay \(\widehat{A}=90độ\)

Xét ΔABC có \(\widehat{A}=90độ\)(cmt)

nên ΔABC vuông tại A

Vậy: Khi ΔABC vuông tại A thì tứ giác AEMF là hình chữ nhật

c) Khi ΔABC vuông cân tại A thì \(\widehat{B}=\widehat{C}\)(hai góc ở đáy của ΔABC vuông cân tại A)

Ta có: \(\widehat{AEM}+\widehat{BEM}=180\) độ(hai góc kề bù)

\(\widehat{AFM}+\widehat{CFM}=180\) độ(hai góc kề bù)

Do đó: \(\widehat{AEM}+\widehat{BEM}=\widehat{AFM}+\widehat{CFM}\)

mà \(\widehat{AEM}=\widehat{AFM}\)(hai góc đối của hình bình hành AFME)

nên \(\widehat{BEM}=\widehat{CFM}\)

Xét ΔBEM có: \(\widehat{BEM}+\widehat{EMB}+\widehat{MBE}=180\) độ(định lí tổng 3 góc trong 1 tam giác) (1)

Xét ΔCFM có: \(\widehat{CFM}+\widehat{FMC}+\widehat{FCM}=180\) độ(định lí tổng 3 góc trong 1 tam giác) (2)

Từ (1) và (2) suy ra

\(\widehat{BEM}+\widehat{EMB}+\widehat{MBE}=\widehat{CFM}+\widehat{FMC}+\widehat{FCM}\)

mà \(\widehat{BEM}=\widehat{CFM}\) (cmt)và \(\widehat{B}=\widehat{C}\)(cmt)

nên \(\widehat{EMB}=\widehat{FMC}\)

Xét ΔEMB và ΔFCM có

\(\widehat{EMB}=\widehat{FMC}\)(cmt)

MB=MC(do AM là đường trung tuyến ứng với cạnh BC của tam giác ABC)

\(\widehat{B}=\widehat{C}\)(cmt)

Do đó: ΔEMB=ΔFCM(g-c-g)

⇒EM=MF(hai cạnh tương ứng)

Xét hình bình hành EMFA có EM=MF(cmt)

nên EMFA là hình thoi(dấu hiệu nhận biết hình thoi)

Ta có: khi ΔABC vuông cân tại A thì EMFA là hình thoi(cmt)

mà khi ΔABC vuông tại A thì EMFA là hình chữ nhật(cmt)

nên khi ΔABC vuông cân tại A thì EMFA vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi

hay khi ΔABC vuông cân tại A thì tứ giác EMFA là hình vuông