Question

Bài 4: Cho hình vuông ABCD, cạnh a, điểm N thuộc AB. Tia CN cắt AD tại E. Tia Cx vuông góc với tia CE cắt tia AB tại F. Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng EF.

a) Chứng minh: CE=CF

b) Chứng minh: 3 điểm M,B,D thẳng hàng

c) Đặt BN=b. Tính diện tích tứ giác ACFE theo a và b

Answer 1

Có \(NC^2=a^2+b^2\)

Xét tgiac NBC đồng dạng NCF( đều vuông, Chung góc N)

\(\Rightarrow\frac{NC}{NF}=\frac{BN}{NC}\Rightarrow NF=\frac{NC^2}{NB}=\frac{a^2+b^2}{b}\)

Lại có AN=a-b, DE//BC nên \(\frac{EA}{BC}=\frac{AN}{NB}\Rightarrow EA=\frac{AN.BC}{NB}=\frac{a-b}{b}.a=\frac{a^2-ab}{b}\)

Và AF=\(AN+NF=a-b+\frac{a^2+b^2}{b}=\frac{ab+a^2}{b}\)

Vậy \(S_{ACFE}=S_{EAF}+S_{CAF}=\frac{1}{2}AF.EA+\frac{1}{2}AF.BC\)

Nga thế biểu thức vào rồi nhân rút gọn nha, kết quả là \(\frac{a^4+a^3b}{2b^2}\)

Answer 2

Xét tgiac EDC và FBC có

\(\widehat{EDC}=\widehat{FBC}=90\)

\(DC=BC\left(gt\right)\)

\(\widehat{ECD}=\widehat{FCB}\) ( cộng với góc ECB đều =90)

Suy ra \(\Delta EDC=\Delta FBC\left(cgv-gn\right)\)

Suy ra CE=CF

Answer 3

\(\Delta AEF\) vuông tại A , M là tđ EF nên

\(AM=\frac{1}{2}EF=EM\left(1\right)\)

\(\Delta ECF\) vuông tại C , M là tđ EF nên

\(CM=\frac{1}{2}EF=EM\left(2\right)\)

(1)=(2) suy ra AM=CM suy ra M nằm trên đ/trung trực AC(3)

Lại có AB=BC nên B nằm trên đ/trung trực AC(4)

Và AD=CD nên D nằm trên đ/trung trực AC(5)

(3),(4) và (5) suy ra B,D,M thẳng hàng