Bài 3. Cho ABC cân tại A, kẻ AH vuông góc với BC tại H. a/ Chứng minh: = AHB AHC và AH là tia phân giác của BAC b/ Từ H kẻ HM AB ⊥ , HN AC ⊥ ( M AB, N AC ), AH cắt MN tại K. Chứng minh: AH MN ⊥ c/ Trên tia đối của tia HM lấy HP sao cho H là trung điểm của MP, NP cắt BC tại E, NH cắt ME tại Q. Chứng minh: P, Q, K thẳng hàng
a: Xét ΔAHB vuông tại H và ΔAHC vuông tại H có
AB=AC
AH chung
Do đó: ΔAHB=ΔAHC
=>\(\hat{HAB}=\hat{HAC}\)
=>AH là phân giác của góc BAC
b: Xét ΔAMH vuông tại M và ΔANH vuông tại N có
AH chung
\(\hat{MAH}=\hat{NAH}\)
Do đó: ΔAMH=ΔANH
=>AM=AN và HM=HN
AM=AN nên A nằm trên đường trung trực của MN(1)
HM=HN nên H nằm trên đường trung trực của MN(2)
Từ (1),(2) suy ra AH là đường trung trực của MN
=>AH⊥MN tại K và K là trung điểm của MN
Ta có: HM=HP
mà H nằm giữa M và P
nên H là trung điểm của MP
Ta có: HM=HP
HM=HN
Do đó: HN=HP
=>ΔHNP cân tại H
Xét ΔMNP có
NH là đường trung tuyến
NH=MP/2
Do đó: ΔMNP vuông tại N
=>MN⊥NP
mà MN⊥AH
nên NP//AH
Xét ΔAHC có
N là trung điểm của AC
NE//AH
Do đó: E là trung điểm của HC
Xét ΔPMN có
ME,NH là các đường trung tuyến
ME cắt NH tại Q
Do đó: Q là trọng tâm của ΔPMN
Xét ΔPMN có
Q là trọng tâm
K là trung điểm của MN
Do đó: P,Q,K thẳng hàng
