Question

Bài 3 (2,5 điểm): Cho ABC vuông tại A, trên tia BA lấy điểm D sao cho BD = BC. Kẻ DE  BC ( E  BC). Chứng minh

a, BAC = BED

b, ABE cân và AE // DC

c, Gọi M là trung điểm của DC. Chứng minh 3 đường thẳng AC, DE và BM đồng quy. (giúp mình vs )

Answer 1

Chứng minh AC, DE và BM đồng quy.

Theo giả thiết của đề bài, ta có:

ABC là tam giác vuông tại A.BD là đường cao của tam giác ABC.BD = BC.DE cắt AB và AC tại E và D, lần lượt.ABE là tam giác cân.AE // DC.M là trung điểm của đoạn DC.

Ta cần chứng minh rằng AC, DE, và BM đồng quy, tức là chúng đồng quy tại một điểm duy nhất.

Để chứng minh điều này, ta sẽ dùng định lí Ceva trong tam giác ABC để chứng minh:
��.����.����=1BA.MCEM​.ADCD​=1
hay
����=����.����MCEM​=CD.BCBA​AD​

Ta thấy rằng tam giác ABD và BDC đồng dạng, từ đó suy ra:
����=����BDCD​=ADBC​

Do BD là đường cao của ABC nên
��=��2��CD=ADBC2​

Do đó:
����.����=����2��.����=��2��2CD.BCBA​AD​=ADBC2​.BCBA​AD​=BC2AD2​

Chú ý rằng ta có ��BE song song với ��DA nên trong tam giác ���,ADE, ta có
����=����=����MAEM​=DABE​=ADBA​

Áp dụng hai công thức trên, ta có thể suy ra
����=��2��2.����=��.����2MCEM​=BC2AD2​.ADBA​=BC2BA.AD​
(công thức sao chép lần thứ hai trong phép tính trên cùng)

Tiếp theo, ta sẽ chứng minh
����=��2��2ECBE​=AC2BA2​

Áp dụng định lí phân giác trong tam giác ABC, ta có:
����=����.ECBE​=ACBA​.

Từ đó, suy ra:
����.����=��.����2.����=��2��2MCEM​.ECBE​=BC2BA.AD​.ACBA​=AC2BA2​

Do đó, theo định lí Ceva, ta có AC, DE, và BM đồng quy. Vậy, ta đã chứng minh được điều cần chứng minh

   

Answer 2

a: Xét ΔBAC vuông tại A và ΔBED vuông tại E có

BC=BD

góc B chung

=>ΔBAC=ΔBED

b: ΔBAC=ΔBED

=>BA=BE

=>ΔABE cân tại B

Xet ΔBDC có BA/BD=BE/BC

nên AE//CD

c: ΔBDC cân tại B

mà BM là trung tuyến

nên BM vuông góc DC

=>BM,CA,DE đồng quy