Bài 20: Cho ∆ABC vuông tại A (AB < AC), đường cao AH
a) Chứng minh ABHA ABAC và AB² = BH.BC
b) Vẽ BD là đường phân giác của ∆ABC cắt AH tại K Chứng minh BA.BK = BD.ΒΗ
c) Qua C kẻ đường thẳng vuông góc với BD tại E. Kéo dài BA và CE cắt nhau tại M. MD cắt BC tại 1. Chứng minh EB là tia phân giác của IEA.
a: Xét ΔBHA vuông tại H và ΔBAC vuông tại A có
\(\widehat{HBA}\) chung
Do đó: ΔBHA~ΔBAC
=>\(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BA}{BC}\)
=>\(BH\cdot BC=BA^2\)
b: Xét ΔBHK vuông tại H và ΔBAD vuông tại A có
\(\widehat{HBK}=\widehat{ABD}\)(BD là phân giác của góc ABC)
Do đó: ΔBHK~ΔBAD
=>\(\dfrac{BH}{BA}=\dfrac{BK}{BD}\)
=>\(BH\cdot BD=BA\cdot BK\)
c: Xét ΔCMB có
CA,BE là các đường cao
CA cắt BE tại D
Do đó: D là trực tâm của ΔCMB
=>MD\(\perp\)CB tại I
Xét tứ giác MEDA có \(\widehat{MED}+\widehat{MAD}=90^0+90^0=180^0\)
nên MEDA là tứ giác nội tiếp
Xét tứ giác CEDI có \(\widehat{CED}+\widehat{CID}=90^0+90^0=180^0\)
nên CEDI là tứ giác nội tiếp
Ta có: \(\widehat{IED}=\widehat{ICD}\)(ICED nội tiếp)
\(\widehat{AED}=\widehat{AMD}\)(MEDA nội tiếp)
mà \(\widehat{ICD}=\widehat{AMD}\left(=90^0-\widehat{ABC}\right)\)
nên \(\widehat{IED}=\widehat{AED}\)
=>EB là phân giác của góc AEI
