Question

Bài 2 

a/ Với mọi số a, b, c không đồng thời bằng nhau, hãy chứng minh:

a² + b² + c² - ab - ac - bc ≥ 0

b/ Cho a + b + c = 2009. Chứng minh rằng:

Answer 1

Answer 2

Answer 3

Bài 2:

a)a²+b²+c²-ab-ac-bc

=2a²+2b²+2c²-2ab-2ac-2bc

=(a²-2ab+b²)+(b²-2bc+c²)+(c²-2ca+a²)

=(a-b)²+(b-c)²+(c-a)²

Ta thấy: \(\begin{cases}\left(a-b\right)^2\\\left(b-c\right)^2\\\left(c-a\right)^2\end{cases}\ge0\)

\(\Rightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (Đpcm)

Dấu "=" khi \(a=b=c\)

 

 

 

Answer 4

a^2+b^2 ≥ 2ab  => a^2+b^2/2 ≥ab (1)

                              b^2+c^2/2 ≥bc (2)

                               c^2+a^2/2 ≥ac (3)

cong (1),(2),(3)  => a^2+b^2+c^2 ≥ab+bc+ac

          => a^2+b^2+c^2-ac-bc-ab≥0

Answer 5

a) Chứng minh bằng biến đổi tương đương : 

\(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\ge0\)

\(\Leftrightarrow2\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a^2-2ab+b^2\right)+\left(b^2-2bc+c^2\right)+\left(c^2-2ac+a^2\right)\ge0\)

\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2+\left(b-c\right)^2+\left(c-a\right)^2\ge0\) (luôn đúng)

Vì bđt cuối luôn đúng nên bđt ban đầu được chứng minh.

b) Xét tử thức : \(a^3+b^3+c^3-3abc=\left(a+b\right)^3+c^3-3ab\left(a+b\right)-3abc\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+2ab+b^2-ac-bc+c^2\right)-3ab\left(a+b+c\right)\)

\(=\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)\)

Suy ra : \(\frac{a^3+b^3+c^3-3abc}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}=\frac{\left(a+b+c\right)\left(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac\right)}{a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac}\)

\(=a+b+c=9\)

Bạn chú ý thêm điều kiện \(a\ne b\ne c\) nhé :)