Bài 1:
Từ \(AB=\frac{2}{3}AC\Rightarrow \frac{AB}{2}=\frac{AC}{3}\). Đặt \(\frac{AB}{2}=\frac{AC}{3}=t(t>0)\)
\(\Rightarrow AB=2t; AC=3t\)
Áp dụng định lý Pitago cho tam giác $ABC$:
\(12^2=BC^2=AB^2+AC^2=(2t)^2+(3t)^2\)
\(\Leftrightarrow 144=13t^2\Rightarrow t=\sqrt{\frac{144}{13}}=\frac{12}{\sqrt{13}}\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AB=2t=\frac{24}{\sqrt{13}}\\ AC=3t=\frac{36}{\sqrt{13}}\end{matrix}\right.\) (cm)
Hình vẽ:
Bài 2:
\(\frac{AB}{AC}=\frac{5}{7}\Rightarrow \frac{AB}{5}=\frac{AC}{7}\).
Đặt \(\frac{AB}{5}=\frac{AC}{7}=t(t>0)\Rightarrow AB=5t; AC=7t\)
Ta thấy:
\(S_{ABC}=\frac{AB.AC}{2}=\frac{BC.AH}{2}\)
\(\Rightarrow AH=\frac{AB.AC}{BC}=\frac{AB.AC}{\sqrt{AB^2+AC^2}}\) (áp dụng đl Pitago)
\(\Leftrightarrow 15=\frac{5t.7t}{\sqrt{(5t)^2+(7t)^2}}\)
\(\Leftrightarrow 15=\frac{35t^2}{\sqrt{74t^2}}=\frac{35t}{\sqrt{74}}\)
\(\Leftrightarrow t=\frac{3\sqrt{74}}{7}\)
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} AB=5t=\frac{15\sqrt{74}}{7}\\ AC=7t=3\sqrt{74}\end{matrix}\right.\) (cm)
Áp dụng đl Pitago cho tam giác vuông $ABH$ và $ACH$
\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{(\frac{15\sqrt{74}}{7})^2-15^2}=\frac{75}{7}\\ CH=\sqrt{AC^2-AH^2}=\sqrt{(3\sqrt{74})^2-15^2}=21\end{matrix}\right.\) (cm)
Hình vẽ: