Bài 12. Cho đường tròn (O) đường kính AB. Lấy điểm C thuộc đường tròn (C khác A và B).Tiếp tuyển tại A của đường tròn (O) cắt BC tại M. a) Chứng minh rằng tam giác ABC vuông và AB = BC. BM b) Gọi K là trung điểm của MA. Chứng minh rằng KC là tiếp tuyến của đường tròn (O) c) KC cất tiếp tuyển tại B của đường tròn (O) tại D. Chứng minh rằng tam giác KOD vuông.
a: Xét (O) có
ΔACB nội tiếp
AB là đường kính
Do đó: ΔACB vuông tại C
=>CA⊥BM tại C
Xét ΔMAB vuông tại A có AC là đường cao
nên \(BA^2=BC\cdot BM\)
b: ΔACM vuông tại C
mà CK là đường trung tuyến
nên KC=KA=KM
Xét ΔOCK và ΔOAK có
OC=OA
CK=AK
OK chung
Do đó: ΔOCK=ΔOAK
=>\(\hat{OCK}=\hat{OAK}\)
=>\(\hat{OCK}=90^0\)
=>CK là tiếp tuyến của (O)
c: Xét (O) có
DB,DC là các tiếp tuyến
Do đó: OD là phân giác của góc BOC
=>\(\hat{BOC}=2\cdot\hat{COD}\)
Xét (O) có
KC,KA là các tiếp tuyến
Do đó; OK là phân giác của góc COA
=>\(\hat{COA}=2\cdot\hat{COK}\)
Ta có: \(\hat{BOC}+\hat{COA}=180^0\) (hai góc kề bù)
=>\(2\left(\hat{COD}+\hat{COK}\right)=180^0\)
=>\(2\cdot\hat{KOD}=180^0\)
=>\(\hat{KOD}=\frac{180^0}{2}=90^0\)
=>ΔKOD vuông tại O
