Bài 1:
Tìm số tự nhiên n sao cho n + 24 và n - 65 đều là hai số chính phương
Bài 2:
Cho A = p4 trong đó p là số nguyên tố
a) A có những ước dương nào?
b) Chứng minh tổng các ước dương của A là một số chính phương
Bài 3:
Cho 3 số nguyên x ; y ; z sao cho x = y + z. Chứng minh rằng 2(xy-yz+zx) là tổng của 3 số chính phương
Bài 1:
Đặt \(n+24=a^2\)
\(n-65=b^2\)
\(\Rightarrow a^2-b^2=n+24-n+65\)
\(\Rightarrow\left(a-b\right)\left(a+b\right)=1.89\)
Vì a - b < a + b
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a-b=1\\a+b=89\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=45\\b=44\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow n+24=45^2\)
\(\Rightarrow n=2001\)
Bài 2:
a) Các ước dương của A là:
1 ; p ; p2 ; p3 ; p4
b) Gọi m2 là tổng các ước dương của A
\(\Rightarrow m^2=1+p+p^2+p^3+p^4\)
\(\Rightarrow4m^2=4+4p+4p^2+4p^3+4p^4\)
\(\Rightarrow4p^4+4p^3+p^2< \left(2m\right)^2< 4p^4+4p^3+9p^2+4p+4\)
\(\Rightarrow\left(2p^2+p\right)^2< \left(2m\right)^2< \left(2p^2+p+2\right)^2\)
\(\Rightarrow\left(2m\right)^2=\left(2p^2+p+1\right)^2\)
\(\Rightarrow4+4p+4p^2+4p^3+4p^4=\left(2p^2+p+1\right)^2\)
Bài 3:
Ta có:
\(x=y+z\)
\(\Rightarrow x-y-z=0\)
\(\Rightarrow\left(x-y-z\right)^2=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2-2xy-2xz+2yz=0\)
\(\Rightarrow x^2+y^2+z^2=2\left(xy-yz+xz\right)\)
Vậy 2( xy - yz + zx) là tổng của 3 số chính phương với x = y + z
