\(x^2-mx+3=0\left(1\right)\)
Để phương trình (1) có nghiệm thì:
\(\Delta\ge0\Rightarrow m^2-4.3\ge0\Leftrightarrow m^2\ge12\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m\ge2\sqrt{3}\\m\le-2\sqrt{3}\end{matrix}\right.\)
Theo định lí Vi-et ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=m\\x_1x_2=3\end{matrix}\right.\)
a) Ta có: \(\left\{{}\begin{matrix}3x_1+x_2=6\\x_1x_2=3\end{matrix}\right.\)
\(\Rightarrow x_1\left(6-3x_1\right)=3\)
\(\Leftrightarrow x_1\left(2-x_1\right)=1\)
\(\Leftrightarrow x_1^2-2x_1+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1-1\right)^2=0\Leftrightarrow x_1=1\)
\(\Rightarrow x_2=\dfrac{3}{x_1}=\dfrac{3}{1}=3\)
\(\Rightarrow m=x_1+x_2=1+3=4\left(thỏa\right)\)
b) Vì x1,x2 là độ dài cạnh góc vuông của một tam giác vuông nên x1,x2>0
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2>0\\x_1x_2>0\end{matrix}\right.\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}m>0\\3>0\left(hiển\text{nhi}ên\right)\end{matrix}\right.\Rightarrow m>0\)
Theo đề bài ta có: \(x_1^2+x_2^2=6^2=36\)
\(\Leftrightarrow\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2=36\)
\(\Leftrightarrow m^2-2.3=36\)
\(\Leftrightarrow m^2=42\Leftrightarrow m=\sqrt{42}\left(m>0\right)\) (thỏa)
