Question

B1

Cho x,y>0 và xy=1. Chứng minh (x+y+1)(\(x^2+y^2\))+\(\frac{4}{x+y}\ge8\)

B2 Cho x,y,z>0 và xyz=1. CMR

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{3}{x+y+z}\ge4\)

B3 Cho a là số dương . CMR \(\frac{a^2}{4}+\frac{9}{a+1}\ge4\)

Answer 1

Bài 1:

Theo BĐT AM-GM có :$(x+y+1)(x^2+y^2)+\dfrac{4}{x+y}\geq (x+y+1).2xy+\dfrac{4}{x+y}=2(x+y+1)+\dfrac{4}{x+y}=(x+y)+(x+y)+\dfrac{4}{x+y}+2\geq 2\sqrt{xy}+2\sqrt{(x+y).\dfrac{4}{x+y}}+2=2+4+2=8$(đpcm)

Dấu \(=\) xảy ra khi \(x=y, xy=1\) và \(x+y=2\) hay \(x=y=1\)

Answer 2

Bài 1:

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:

\(x^2+y^2\geq 2xy=2\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}(1)\)

Tiếp tục áp dụng BĐT Cô-si:

\(2(x+y+1)+\frac{4}{x+y}=(x+y+2)+[(x+y)+\frac{4}{x+y}]\)

\(\geq (2\sqrt{xy}+2)+2\sqrt{(x+y).\frac{4}{x+y}}=(2+2)+4=8(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow (x+y+1)(x^2+y^2)+\frac{4}{x+y}\geq 8\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=1$

Answer 3

Bài 2:

Vì $xyz=1$ nên:

\(\frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{3}{x+y+z}=\frac{z+x+y}{xyz}+\frac{3}{x+y+z}=x+y+z+\frac{3}{x+y+z}\)

Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
\(\frac{x+y+z}{3}+\frac{3}{x+y+z}\geq 2(1)\)

\(\frac{2}{3}(x+y+z)\geq \frac{2}{3}.3\sqrt[3]{xyz}=\frac{2}{3}.3=2(2)\)

Từ \((1);(2)\Rightarrow \frac{1}{xy}+\frac{1}{yz}+\frac{1}{xz}+\frac{3}{x+y+z}\geq 2+2=4\)

Ta có đpcm.

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=1$

Answer 4

Bải 3:

Xét hiệu:

\(\frac{a^2}{4}+\frac{9}{a+1}-4=\frac{a^2(a+1)+36-16(a+1)}{4(a+1)}=\frac{a^3+a^2-16a+20}{4(a+1)}\)

\(=\frac{a^2(a-2)+3a(a-2)-10(a-2)}{4(a+1)}=\frac{(a-2)(a^2+3a-10)}{4(a+1)}=\frac{(a-2)(a-2)(a+5)}{4(a+1)}\)

\(=\frac{(a-2)^2(a+5)}{4(a+1)}\geq 0, \forall a>0\)

\(\Rightarrow \frac{a^2}{4}+\frac{9}{a+1}\geq 4\) (đpcm)

Dấu "=" xảy ra khi $a=2$