Lấy điểm D sao cho điểm F là trung điểm của DE\(\Rightarrow\)\(EF=DF=\dfrac{1}{2}DE\), nối E với C
\(\text{Xét }\Delta AEF\text{ và }\Delta CDF\text{ có:}\)
\(AF=FC\left(gt\right)\left(1\right)\)
\(\widehat{F_1}=\widehat{F_2}\left(\text{đối đỉnh}\right)\left(2\right)\)
\(EF=DF\left(\text{hình vẽ}\right)\left(3\right)\)
\(\text{Từ (1),(2) và (3)}\Rightarrow\Delta AEF=\Delta CDF\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}AE=CD\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right),\text{mà }AE=BE\left(gt\right)\Rightarrow BE=CD\\\widehat{EAF}=\widehat{DCF}\left(\text{2 góc tương ứng}\right)\left(5\right)\end{matrix}\right.\)
\(\text{Mà 2 góc này ở vị trí so le trong của đường thẳng AE và CD}\left(6\right)\)
\(\text{Từ (5) và (6)}\Rightarrow AE\text{//}CD\left(\text{dấu hiệu nhận biết}\right)\)
\(\text{Hay }BE\text{//}CD\left(\text{do A,E,B thẳng hàng}\right)\)
\(\Rightarrow\widehat{BEC}=\widehat{DCE}\left(\text{so le trong}\right)\)
\(\text{Xét }\Delta BEC\text{ và }\Delta DCE\text{ có:}\)
\(BE=DC\left(cmt\right)\left(7\right)\)
\(\widehat{BEC}=\widehat{DCE}\left(cmt\right)\left(8\right)\)
\(\text{CE chung}\left(9\right)\)
\(\text{Từ (7),(8) và (9)}\Rightarrow\Delta BEC=\Delta DCE\left(c.g.c\right)\)
\(\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}BC=DE\left(\text{2 cạnh tương ứng}\right),\text{Mà }EF=\dfrac{1}{2}DE\Rightarrow EF=\dfrac{1}{2}BC\Rightarrow EF=\dfrac{BC}{2}\left(đpcm\right)\\\widehat{BCE}=\widehat{DEC}\left(\text{2 góc tương ứng}\right)\text{Hay }\widehat{BCE}=\widehat{FEC}\left(10\right)\end{matrix}\right.\)
\(\text{Mà 2 góc này ở vị trí so le trong của 2 đường thẳng BC và EF}\left(11\right)\)
\(\text{Từ (10) và (11)}\Rightarrow BC\text{//}EF\left(\text{dấu hiệu nhận biết}\right)\left(đpcm\right)\)
