Question

a.Tìm n để n^2 + 2006 là một số chính phương

b.Cho n là số nguyên tố lớn hơn 3.Hỏi n^2 +2006 là số nguyên tố hay hợp số

Answer 1

a) 

Giả sử n^2 + 2006 = m^2 (m,n la số nguyên) 
Suy ra n^2 - m^2 =2006 <==> ( n - m )( n + m ) = 2006 
Gọi a = n - m, b = n + m ( a,b cũng là số nguyên) 
Vì tích của a và b bằng 2006 la một số chẵn, suy ra trong 2 số a và b phải có ít nhất 1 số chẵn (1) 
Mặt khác ta có: a + b = (n - m) + (n + m) = 2n là 1 số chẵn ==> a và b phải cùng chẵn hoặc cùng lẻ(2) 
Từ (1) và (2) suy ra a và b đều là số chẵn 
Suy ra a = 2k , b= 2l ( với k,l là số nguyên) 
Theo như trên ta có a.b = 2006 hay 2k.2l = 2006 hay 4.k.l = 2006 
Vì k,l là số nguyên nên suy ra 2006 phải chia hết cho 4 ( điều này vô lý, vì 2006 không chia hết cho 4) 
Vậy không tồn tại số nguyên n thỏa mãn đề bài đã cho.(đpcm)

Tích nha 

Answer 2

a) Giả sử n² + 2006 là số chính phương khi đó ta đặt n² + 2006 = a² ( a ∈ Z ) <=> a² – n² = 2006 <=> ( a - n ) . ( a + n ) = 2006 ( * )

+ Thấy : Nếu a , n khác tính chất chẵn lẻ thì vế trái của ( * ) là số lẻ nên không thỏa mãn ( * )

+ Nếu a , n cùng tính chẵn hoặc lẻ thì ( a - n ) chia hết cho 2 và ( a + n ) chia hết cho 2 nên vế trái chia hết cho 4 và vế phải không chia hết cho 4 nên không thỏa mãn ( * )

Vậy không tồn tại n để n2 + 2006 là số chính phương.

Answer 3

b) n là số nguyên tố > 3 nên không chia hết cho 3. Vậy n² chia hết cho 3 dư 1 do đó n² + 2006 = 3m + 1 + 2006 = 3m + 2007 =  3 . ( m + 669 ) chia hết cho 3. 

Vậy n² + 2006 là hợp số.