Các câu hỏi tương tự
Áp dụng bđt Cô-si, chứng minh:
\(\sqrt{\frac{a^2}{b}}+\sqrt{\frac{b^2}{a}}>=\sqrt{a}+\)\(\sqrt{b}\)
7 tháng 11 2021 lúc 6:03
Chứng minh rằng \(2\sqrt{\frac{a}{b}}+3\sqrt[3]{\frac{b}{a}}\ge5\forall a,b>0\)
(Cô có cho tớ gợi ý: Sử dụng BĐT Cô-si)
cho A=\(\frac{x\sqrt{x}-3}{x-2\sqrt{x}-3}-\frac{2\left(\sqrt{x}-3\right)}{\sqrt{x}+1}+\frac{\sqrt{x}+3}{3-\sqrt{x}}\)
a) rút gọn A
b) Tìm GTNN của A(áp dụng BĐT cô si: A+B\(\ge2\sqrt{AB}\))
Xét vế trái :Do a,b,c 0Áp dụng tính chất dãy tỉ số:frac{a}{a+b+c} frac{a}{a+b} frac{a+c}{a+b+c}Tương tự ta cũng có:frac{b}{b+c} frac{b+a}{a+b+c}frac{c}{a+c} frac{c+b}{a+b+c}Cộng vế với vế của các bđt ta đc:frac{a}{a+b}+frac{b}{b+c}+frac{c}{a+c} frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}2left(1right)Xét vế phải ta có: a,b,c0Áp dụng bđt Cô-si:a+b+cge2sqrt{left(a+bright)c}Rightarrowfrac{1}{sqrt{left(a+bright)c}}gefrac{2}{x+y+z}Rightarrowsqrt{frac{x}{y+z}}gefrac{2x}{x+y+z}Tương tự ta có:sqrt{frac{y}{x+z}}gefrac{2y}{x...
Đọc tiếp
Xét vế trái :
Do a,b,c >0
Áp dụng tính chất dãy tỉ số:
\(\frac{a}{a+b+c}< \frac{a}{a+b}< \frac{a+c}{a+b+c}\)
Tương tự ta cũng có:
\(\frac{b}{b+c}< \frac{b+a}{a+b+c}\)
\(\frac{c}{a+c}< \frac{c+b}{a+b+c}\)
Cộng vế với vế của các bđt ta đc:
\(\frac{a}{a+b}+\frac{b}{b+c}+\frac{c}{a+c}< \frac{a+c+b+a+c+b}{a+b+c}=2\left(1\right)\)
Xét vế phải ta có: a,b,c>0
Áp dụng bđt Cô-si:
\(a+b+c\ge2\sqrt{\left(a+b\right)c}\Rightarrow\frac{1}{\sqrt{\left(a+b\right)c}}\ge\frac{2}{x+y+z}\Rightarrow\sqrt{\frac{x}{y+z}}\ge\frac{2x}{x+y+z}\)
Tương tự ta có:
\(\sqrt{\frac{y}{x+z}}\ge\frac{2y}{x+y+z}\)
\(\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge\frac{2z}{x+y+z}\)
Cộng vế với vế của các bđt ta đc:
\(\sqrt{\frac{x}{y+z}}+\sqrt{\frac{y}{z+x}}+\sqrt{\frac{z}{x+y}}\ge2\left(2\right)\)
Từ (1) (2) suy ra đpcm
Cho a;b;cge0 và a+b+c1Tìm GTLN của Asqrt{a+b}+sqrt{b+c}+sqrt{c+a} Bài làm:Ta có: a;b;cge0 và a+b+c1Áp dụng Bđt Cô-si cho 2 số không âm, ta có: sqrt{a+b}+sqrt{b+c}+sqrt{c+a}sqrt{frac{3}{2}}left(sqrt{left(a+bright).frac{2}{3}}+sqrt{left(b+cright).frac{2}{3}}+sqrt{left(c+aright).frac{2}{3}}right)lesqrt{frac{3}{2}}left(frac{a+b+frac{2}{3}}{2}+frac{b+c+frac{2}{3}}{2}+frac{c+a+frac{2}{3}}{2}right)sqrt{frac{3}{2}}.2sqrt{6}Dấu xảy ra khi abcfrac{1}{3}
Đọc tiếp
Cho \(a;b;c\ge0\) và \(a+b+c=1\)
Tìm GTLN của \(A=\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
Bài làm:
Ta có: \(a;b;c\ge0\) và \(a+b+c=1\)
Áp dụng Bđt Cô-si cho 2 số không âm, ta có:
\(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a}\)
\(=\sqrt{\frac{3}{2}}\left(\sqrt{\left(a+b\right).\frac{2}{3}}+\sqrt{\left(b+c\right).\frac{2}{3}}+\sqrt{\left(c+a\right).\frac{2}{3}}\right)\)
\(\le\sqrt{\frac{3}{2}}\left(\frac{a+b+\frac{2}{3}}{2}+\frac{b+c+\frac{2}{3}}{2}+\frac{c+a+\frac{2}{3}}{2}\right)\)\(=\sqrt{\frac{3}{2}}.2=\sqrt{6}\)
Dấu = xảy ra khi \(a=b=c=\frac{1}{3}\)
Cho hai số a,b không âm thõa mãn: \(a^2+b^2\le2\)
CM \(M=a\sqrt{3b\left(a+2b\right)}+b\sqrt{3a\left(b+2a\right)}\le6\)
ÁP dụng BĐT Cô-Si
Chứng minh BĐT: \(\frac{1}{\sqrt{a}}+\frac{1}{\sqrt{b}}+\frac{1}{\sqrt{c}}\ge\frac{1}{\sqrt{ab}}+\frac{1}{\sqrt{bc}}+\frac{1}{\sqrt{ca}}\)
ta có:(a-b)2(17a2+10ab+9b2)()0Leftrightarrowsqrt{2aleft(a+bright)^3}lefrac{5}{2}a^2+frac{3}{2}b^2áp dụng cô si ta có:2bsqrt{2left(a^2+b^2right)}lefrac{4b^2+2left(a^2+b^2right)}{2}Rightarrow bsqrt{2left(a^2+b^2right)}lefrac{1}{2}a^2+frac{3}{2}b^2Rightarrowsqrt{2aleft(a+bright)^3}+bsqrt{2left(a^2+b^2right)}lefrac{5}{2}a^2+frac{1}{2}a^2+frac{3}{2}b^2+frac{3}{2}b^23left(a^2+b^2right)
Đọc tiếp
ta có:(a-b)2(17a2+10ab+9b2)>(=)0
\(\Leftrightarrow\sqrt{2a\left(a+b\right)^3}\le\frac{5}{2}a^2+\frac{3}{2}b^2\)
áp dụng cô si ta có:
\(2b\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\le\frac{4b^2+2\left(a^2+b^2\right)}{2}\)
\(\Rightarrow b\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\le\frac{1}{2}a^2+\frac{3}{2}b^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{2a\left(a+b\right)^3}+b\sqrt{2\left(a^2+b^2\right)}\le\frac{5}{2}a^2+\frac{1}{2}a^2+\frac{3}{2}b^2+\frac{3}{2}b^2=3\left(a^2+b^2\right)\)
a, Chứng minh
\(\frac{1}{\left(n+1\right).\sqrt{n}+n\sqrt{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}\)
b, Áp dụng
\(S=\frac{1}{2\sqrt{1}+1\sqrt{2}}+\frac{1}{3\sqrt{2}+2\sqrt{3}}+\frac{1}{3\sqrt{4}+4\sqrt{3}}......+\frac{1}{400\sqrt{399}+399\sqrt{400}}\)