Nhận thấy \(x=y=z=0\) là 1 nghiệm của pt đã cho
Giả sử \(x_0;y_0;z_0\) là 1 bộ nghiệm khác của pt sao cho \(\left|x_0\right|+\left|y_0\right|+\left|z_0\right|\) nhỏ nhất
\(\Rightarrow\left|x_0\right|+\left|y_0\right|+\left|z_0\right|>0\)
Đồng thời \(x_0^3=2y_0^3+4z_0^3\)
Do vế phải chẵn nên vế trái chẵn \(\Rightarrow x^3\) chẵn \(\Rightarrow x=2x_1\)
\(\Rightarrow8x_1^3=2y_0^3+4z_0^3\Leftrightarrow4x_1^3=y_0^3+2z_0^3\)
Tương tự ta suy ra \(y_0\) chẵn \(\Rightarrow y_0=2y_1\)
\(\Rightarrow2x_1^3=4y_1^3+z_0^3\)
Ta lại có \(z_0\) chẵn \(\Rightarrow z_0=2z_1\)
\(\Rightarrow x_1^3=2y_1^3+4z_1^3\)
\(\Rightarrow\left(x_1;y_1;z_1\right)\) là 1 bộ nghiệm của pt đã cho
Mặt khác:
\(\left|x_0\right|+\left|y_0\right|+\left|z_0\right|=\left|2x_1\right|+\left|2y_1\right|+\left|2z_1\right|=2\left(\left|x_1\right|+\left|y_1\right|+\left|z_1\right|\right)>0\)
\(\Rightarrow\left|x_0\right|+\left|y_0\right|+\left|z_0\right|>\left|x_1\right|+\left|y_1\right|+\left|z_1\right|\)
Trái với giả thiết \(\left|x_0\right|+\left|y_0\right|+\left|z_0\right|\) nhỏ nhất
\(\Rightarrow\) Điều giả sử là sai hay pt có bộ nghiệm nguyên duy nhất \(x=y=z=0\)
