Ôn thi vào 10

Hồ Quang Hưng

a,\(\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\) với k∈N*

b,\(\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+\dfrac{1}{4\sqrt{3}}+\dfrac{1}{5\sqrt{4}}+...+\dfrac{1}{2022\sqrt{2021}}< 2\)

Nguyễn Việt Lâm
2 tháng 12 2022 lúc 21:46

\(\dfrac{1}{\left(k+1\right)\sqrt{k}}=\dfrac{\sqrt{k}}{k\left(k+1\right)}=\sqrt{k}\left(\dfrac{1}{k}-\dfrac{1}{k+1}\right)=\sqrt{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\)

\(< \sqrt{k}\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}+\dfrac{1}{\sqrt{k}}\right)=2\left(\dfrac{1}{\sqrt{k}}-\dfrac{1}{\sqrt{k+1}}\right)\) (đpcm)

Áp dụng BĐT trên ta có:

\(\dfrac{1}{2\sqrt{1}}+\dfrac{1}{3\sqrt{2}}+...+\dfrac{1}{2022\sqrt{2021}}< 2\left(\dfrac{1}{\sqrt{1}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{3}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2021}}-\dfrac{1}{\sqrt{2022}}\right)\)

\(=2\left(1-\dfrac{1}{\sqrt{2022}}\right)< 2\)

Bình luận (0)

Các câu hỏi tương tự
Mạnh Dũng
Xem chi tiết
Ctuu
Xem chi tiết
Anh Quynh
Xem chi tiết
Anh Quynh
Xem chi tiết
Đức Anh Lê
Xem chi tiết
Anh Quynh
Xem chi tiết
Anh Quynh
Xem chi tiết
Nguyễn Phạm Mai Phương
Xem chi tiết
Nguyễn Thị Quỳnh Như
Xem chi tiết
Tìm bông tuyết
Xem chi tiết