Ta xét biểu thức:
\(A = \frac{1}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{3}{5^{4}} + \hdots + \frac{n}{5^{n + 1}} \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; n \in \mathbb{N}\)
Bước 1: Xét tổng vô hạn tương ứngTa xét tổng vô hạn:
\(S = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k + 1}}\)
Đặt \(S = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k + 1}}\), ta muốn tính giá trị này để ước lượng \(A\), vì rõ ràng:
\(A = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{5^{k + 1}} < \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k + 1}} = S\)
Bước 2: Tính tổng vô hạn \(S\)Ta đặt:
\(S = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k + 1}} = \frac{1}{5} \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}\)
Giờ xét:
\(T = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}\)
Tổng này là tổng lũy thừa có công thức:
\(\sum_{k = 1}^{\infty} k x^{k} = \frac{x}{\left(\right. 1 - x \left.\right)^{2}} , \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; \mid x \mid < 1\)
Thay \(x = \frac{1}{5}\), ta có:
\(T = \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k}} = \frac{\frac{1}{5}}{\left(\left(\right. 1 - \frac{1}{5} \left.\right)\right)^{2}} = \frac{\frac{1}{5}}{\left(\left(\right. \frac{4}{5} \left.\right)\right)^{2}} = \frac{1 / 5}{16 / 25} = \frac{1}{5} \cdot \frac{25}{16} = \frac{5}{16}\)
Do đó:
\(S = \frac{1}{5} \cdot \frac{5}{16} = \frac{1}{16}\)
Bước 3: So sánh với AVì:
\(A = \sum_{k = 1}^{n} \frac{k}{5^{k + 1}} < \sum_{k = 1}^{\infty} \frac{k}{5^{k + 1}} = \frac{1}{16}\)
Nên ta có:
\(\boxed{A < \frac{1}{16}}\)
✅ Kết luận: Với mọi \(n \in \mathbb{N}\), ta có:
\(A = \frac{1}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{3}{5^{4}} + \hdots + \frac{n}{5^{n + 1}} < \frac{1}{16}\)
Để chứng minh rằng \(A < \frac{1}{16}\), ta cần phân tích và tính giá trị của \(A\), nơi:
\(A = \frac{1}{5^{2}} + \frac{2}{5^{3}} + \frac{3}{5^{4}} + \hdots + \frac{n}{5^{n}} + 1\)
1. Biểu diễn \(A\) dưới dạng tổngBiểu thức của \(A\) có thể viết lại như sau:
\(A = \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{k - 1}{5^{k}} + 1\)
Chúng ta sẽ tách phần tổng lại thành 2 phần:
\(A = 1 + \sum_{k = 2}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}\)
2. Tính tổng \(\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}\)Để tính tổng này, ta sử dụng một phương pháp dựa trên sự phát triển của chuỗi số học trong chuỗi lũy thừa.
Đầu tiên, xét chuỗi cơ bản sau:
\(S = \sum_{k = 1}^{\infty} x^{k} = \frac{x}{1 - x} \text{v}ớ\text{i}\&\text{nbsp}; \mid x \mid < 1\)
Bước 1: Tính tổng của chuỗi số \(\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{1}{5^{k}}\)
Áp dụng công thức chuỗi số học cho \(x = \frac{1}{5}\):
\(\sum_{k = 1}^{\infty} \frac{1}{5^{k}} = \frac{\frac{1}{5}}{1 - \frac{1}{5}} = \frac{1}{4}\)
Bước 2: Tính tổng của chuỗi số \(\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{k}{5^{k}}\)
Sử dụng công thức chuỗi tổng quát và tính tổng khi có một hệ số \(k\) trong tử số:
\(\sum_{k = 2}^{\infty} \frac{k}{5^{k}} = \frac{1}{4}\)
