Question

A=11...1 +44...4+1  ( biết 11...1 có 2n chữ số;44...4 có n chữ số)

c/m rằng: A  la số chính phương

Answer 1

Ta có \(A=\overset{2n}{11...1}+\overset{n}{44...4}+1\)

\(A=\dfrac{1}{9}.\overset{2n}{99...9}+\dfrac{4}{9}.\overset{n}{99...9}+1\)

\(A=\dfrac{1}{9}\left(10^{2n}-1\right)+\dfrac{4}{9}\left(10^n-1\right)+1\)

\(A=\dfrac{10^{2n}-1+4.10^n-4+9}{9}\)

\(A=\dfrac{\left(10^n\right)^2+4.10^n+4}{9}\)

\(A=\left(\dfrac{10^n+2}{3}\right)^2\) 

 Dễ thấy \(10^n+2⋮3\) vì có tổng các chữ số là 3 nên \(\dfrac{10^n+2}{3}\inℕ^∗\). Vậy A là số chính phương (đpcm)