http://hocmai.vn/file.php/389/Bai_tap_tu_luyen/De_thi_HSG/Dap_an_De_thi_HSG_lop_6_so_1.pdf Mình tặng bạn nhé!! ^^
http://hocmai.vn/file.php/389/Bai_tap_tu_luyen/De_thi_HSG/Dap_an_De_thi_HSG_lop_6_so_1.pdf
a) n2+2006 là 1 số chính phương nên đặt n2+2006=m2 (m\(\in\)Z)
<=> m2-n2=2006 <=> (m-n)(m+n)=2006 (*)
Mà (m-n)+(m+n)=m-n+m+n=2m là số chẵn => m-n và m+n có cùng tính chẵn hoặc lẻ
+) Nếu m-n và m+n cùng chẵn => (m-n)(m+n) chia hết cho 4 trái với (*) vì 2006 không chia hết cho 4
+) Nếu m-n và m+n cùng lẻ => (m-n)(m+n) là số lẻ trái với (*) vì 2006 là số chẵn
Vậy không có số n thỏa mãn n2+2006 là số chính phương
b) n là số nguyên tố lớn hơn 3 => n = 3k +1 hoặc n = 3k + 2 ( k \(\in\) N* )
+) Nếu n = 3k + 1
=> n2+2006 = (3k+1)2+2006 = 9k2+6k+1+2006 = 9k2+6k+2007 là hợp số
=> n2 + 2006 là hợp số khi n=3k+1 (1)
+) Nếu n = 3k + 2
=> n2+2006 = (3k+2)2+2006 = 9k2+12k+4+2006 = 9k2+12k+2010 là hợp số
=> n2 + 2006 là hợp số khi n=3k+2 (2)
Từ (1) và (2) => n2 + 2006 là hợp số với mọi n là số nguyên tố lớn hơn 3