Question

2) Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) có đường cao AD. Gọi N, T lần lượt là chân đường vuông góc kẻ từ D đến AB, AC. a) Chứng minh bốn điểm A, N, D, T cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng qua D song song với AB cắt NT tại E. Chứng minh góc DNT = góc DAT và V. DC =DE.DA.

c) Chứng minh CE vuông góc với AB.

Answer 1

a: Xét tứ giác ANDT có \(\widehat{AND}+\widehat{ATD}=90^0+90^0=180^0\)

nên ANDT là tứ giác nội tiếp

=>A,N,D,T cùng thuộc một đường tròn

b: Ta có: ANDT là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{DNT}=\widehat{DAT}\)

Ta có: DE//AB

AB\(\perp\)DN

Do đó: DE\(\perp\)DN tại D

Xét ΔDNE vuông tại D và ΔDAC vuông tại D có

\(\widehat{DNE}=\widehat{DAC}\)

Do đó: ΔDNE~ΔDAC

=>\(\dfrac{DN}{DA}=\dfrac{DE}{DC}\)

=>\(DN\cdot DC=DE\cdot DA\)

 

c: ΔDAC~ΔDNE

=>\(\widehat{DCA}=\widehat{DEN}\)

=>\(\widehat{DCT}=\widehat{DET}\)

=>DTEC là tứ giác nội tiếp

=>\(\widehat{DTC}=\widehat{DEC}\)

=>\(\widehat{DEC}=90^0\)

=>CE\(\perp\)ED

mà ED//AB

nên CE\(\perp\)AB