Question

  Nhanh với ạ em đang cần

2. Cho phương trình bậc hai (ẩn \( x \)): \( x^2 + (m+2)x + 2m = 0 \) \((*)\)

a. Biết phương trình có một nghiệm \( x = 3 \). Tìm nghiệm còn lại.

b. Tìm \( m \) biết rằng phương trình có hai nghiệm \( x_1, x_2 \) thỏa mãn \( 2x_1 + 3x_2 = 1 \).

Answer 1

a) \(x=3\) là nghiệm của Pt cho ta có :

\(3^2+3\left(m+2\right)+2m=0\)

\(\Leftrightarrow5m=-15\)

\(\Leftrightarrow m=-3\)

Thay \(m=-3\) vào Pt cho ta được :

\(x^2-x-6=0\)

\(\Leftrightarrow\left(x-3\right)\left(x+2\right)=0\) có 1 nghiệm \(x=3\)

\(\Rightarrow x=-2\) là nghiệm còn lại

b) Áp dụng định lý Viète \(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-\left(m+2\right)\left(1\right)\\x_1x_2=2m\left(2\right)\end{matrix}\right.\)

Phương trình cho có \(2\) nghiệm phân biệt \(x_1;x_2\) khi và chỉ khi

\(\Leftrightarrow\Delta=\left(m+2\right)^2-4m>0\Leftrightarrow m^2+4>0\left(đúng;\forall m\in R\right)\)

Theo đề bài ta có :

\(2x_1+3x_2=1\)

\(\Leftrightarrow2\left(x_1+x_2\right)+x_2=1\)

\(\Leftrightarrow x_2=1+2\left(m+2\right)=2m+5\)

\(\left(1\right)\Rightarrow x_1=-m-2-2m-5=-3m-7\)

\(\left(2\right)\Rightarrow\left(-3m-7\right)\left(2m+5\right)=2m\)

\(\Leftrightarrow-6m^2-29m-35=2m\)

\(\Leftrightarrow6m^2+31m+35=0\)

\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{5}{3}\\m=-\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\)

Vậy với \(\left[{}\begin{matrix}m=-\dfrac{5}{3}\\m=-\dfrac{7}{2}\end{matrix}\right.\) thỏa mãn đề bài